Question

10．已知點A（$\frac{π}{8}$，f（$\frac{π}{8}$））和直線x=$\frac{3π}{8}$分別是函數(shù)f（x）=2$\sqrt{2}$sin?xsin（?x+$\frac{π}{4}$）（?＞0）相鄰的一個對稱中心和一條對稱軸，將函數(shù)f（x）的圖象向右平移φ個單位得到函數(shù)g（x）的圖象，若當(dāng)x=$\frac{π}{3}$時，g（x）取最大值，則g（x）在[-$\frac{π}{2}$，0]上單調(diào)增區(qū)間為[-$\frac{π}{6}$，0]．

Answer 1

分析 由條件利用正弦函數(shù)的周期性求得ω的值，再利用三角恒等變換化簡f（x）的解析式，結(jié)合y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得g（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得g（x）在[-$\frac{π}{2}$，0]上單調(diào)增區(qū)間．

解答 解：由題意可得$\frac{T}{4}$=$\frac{1}{4}$•$\frac{2π}{2ω}$=$\frac{3π}{8}$-$\frac{π}{8}$，∴ω=1，
∴f（x）=2$\sqrt{2}$sinxsin（x+$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$sinx（$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosx）
=2sin²x+2sinxcosx=1-cos2x+sin2x=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），
故將函數(shù)f（x）的圖象向右平移φ個單位得到
函數(shù)g（x）=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin[2（x-φ）-$\frac{π}{4}$]=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-2φ-$\frac{π}{4}$）的圖象．
由于當(dāng)x=$\frac{π}{3}$時，g（x）取最大值，即 1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（$\frac{2π}{3}$-2φ-$\frac{π}{4}$）=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{2π}{3}$-2φ-$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，
求得φ=-kπ-$\frac{π}{24}$，k∈z，
故可取φ=-$\frac{π}{24}$，g（x）=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得 kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，
故函數(shù)g（x）的增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈z．
再結(jié)合x∈[-$\frac{π}{2}$，0]，可得g（x）的增區(qū)間為[-$\frac{π}{6}$，0]，
故答案為：[-$\frac{π}{6}$，0]．

點評 本題主要考查三角恒等變換，y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性，屬于中檔題．