Question

9．如圖所示，CD為 Rt△ABC斜邊AB邊上的中線，CE⊥CD，CE=$\frac{10}{3}$，連接DE交BC于點(diǎn)F，AC=4，BC=3．
求證：（1）△ABC∽△EDC；
（2）DF=EF．

Answer 1

分析 （1）在直角三角形ABC中，由AC與BC的長，利用勾股定理求出AB的長，根據(jù)D為斜邊的中點(diǎn)，求出AD，BD，CD的長，求出CD：CE的比值與BC：AC的比值相等，再由夾角為直角相等，即可得證；
（2）由（1）的結(jié)論得到∠B=∠CDF，根據(jù)BD=CD，利用等邊對等角得到一對角相等，等量代換及等角對等邊得到DF=CF，同理得到CF=EF，等量代換即可得證．

解答 證明：（1）在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，
根據(jù)勾股定理得：AB=5，
∵D為斜邊AB的中點(diǎn)，
∴AD=BD=CD=$\frac{1}{2}$AB=2.5，
∴$\frac{CD}{CE}$=$\frac{2.5}{\frac{10}{3}}$=$\frac{3}{4}$=$\frac{BC}{AC}$，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴△ABC∽△EDC；
（2）由（1）得：∠B=∠CDF，
∵BD=CD，
∴∠B=∠DCF，
∴∠CDF=∠DCF，
∴DF=CF，
由（1）得：∠A=∠CEF，∠ACD+∠DCF=90°，∠ECF+∠DCF=90°，
∴∠ACD=∠ECF，
∵AD=CD，
∴∠A=∠ACD，
∴∠ECF=∠CEF，
∴CF=EF，
則DF=EF．

點(diǎn)評 此題考查了相似三角形的判定，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定方法是解本題的關(guān)鍵．