Question

17．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1，其弦AB的中點為M，若直線AB和OM的斜率都存在（O為坐標(biāo)原點），則兩條直線的斜率之積為-$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，y₀=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$，k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，k_OM=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$．把A，B坐標(biāo)代入相減化簡即可得出．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，y₀=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$，k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，k_OM=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$．
由$\frac{{x}_{1}^{2}}{16}+\frac{{y}_{1}^{2}}{12}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{16}+\frac{{y}_{2}^{2}}{12}$=1，
相減可得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{16}$+$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{12}$=0．
∴$\frac{2{x}_{0}}{16}+\frac{2{y}_{0}}{12}$•k_AB=0，
∴$\frac{1}{8}+\frac{1}{6}{k}_{OM}•{k}_{OB}$=0，
∴k_OM•k_OB=-$\frac{3}{4}$．
故答案為：-$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準方程及其性質(zhì)、“點差法”、中點坐標(biāo)公式、斜率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．