【題目】已知函數(shù)

1)若,求曲線在點(diǎn)處的切線方程;

2)若函數(shù) 上是減函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;

3)令,是否存在實(shí)數(shù),當(dāng)是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))時(shí),函數(shù)的最小值是?若存在,求出的值;若不存在,說(shuō)明理由.

【答案】(1);(2);(3).

【解析】試題分析:(1)欲求在點(diǎn)處的切線方程,只須求出其斜率的值即可,故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=1處的導(dǎo)函數(shù)值,再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率.從而問(wèn)題解決.
(2)先對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),根據(jù)函數(shù)[1,2]上是減函數(shù)可得到其導(dǎo)函數(shù)在[1,2]上小于等于0應(yīng)該恒成立,再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求得的范圍.
(3)先假設(shè)存在,然后對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),再對(duì)的值分情況討論函數(shù)在(0,e]上的單調(diào)性和最小值取得,可知當(dāng)=e2能夠保證當(dāng)時(shí)有最小值3.

試題解析:

(1)當(dāng)時(shí),

所以,

所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.

2)因?yàn)楹瘮?shù)在上是減函數(shù),

所以[1,3]上恒成立.

,,得

.

3)假設(shè)存在實(shí)數(shù)a,使有最小值3,

時(shí), ,所以上單調(diào)遞減,

, (舍去)

②當(dāng)時(shí), 上恒成立, 所以上單調(diào)遞減, (舍去)

③當(dāng)時(shí),令,得,

所以上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增

所以, ,滿足條件

綜上,存在實(shí)數(shù),使得 時(shí), 有最小值3

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A. 1 B. C. 2 D.

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2)設(shè)函數(shù),其中,求函數(shù)在區(qū)間上的最小值;

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A. 2個(gè) B. 3個(gè) C. 4個(gè) D. 5個(gè)

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