Question

【題目】已知為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且.

（1）求函數(shù)及的解析式，并用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：函數(shù)在上是減函數(shù)；

（2）若關(guān)于的方程有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），，證明見解析；（2）

【解析】

（1）根據(jù)，用代替式子中的，利用奇偶性，構(gòu)造方程組，解出和的解析式，取任意的，且，對進(jìn)行化簡，判斷出，從而證明；（2）先得到的解析式，令，判斷出的值域，從而得到的值域，根據(jù)方程有解，從而得到的取值范圍.

（1）因?yàn)?/span>為奇函數(shù)，為偶函數(shù),

所以.

又因?yàn)?/span> ①

所以代替式子中的，得到

，即 ②

聯(lián)立①②，可得

，

設(shè)任意的，且,

則，

因?yàn)?/span>，所以

所以，即，所以0

所以，即函數(shù)在上是減函數(shù)

（2）因?yàn)?/span>,所以，

設(shè)，則，為單調(diào)遞減函數(shù)，

因?yàn)?/span>的定義域?yàn)?/span>，

所以，得到

即的定義域?yàn)?/span>

即，

所以， 則，

因?yàn)殛P(guān)于的方程有解，

故的取值范圍為.