Question

已知函數(shù)f（x）=|x|（x+1），試畫出函數(shù)f（x）的圖象，并根據(jù)圖象解決下列兩個問題
（1）寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，

1

2

]的最大值．

Answer 1

分析：根據(jù)絕對值的意義，將函數(shù)化簡為分段函數(shù)表達式：f（x）=

-x2-x      x≤0 x2+x     x＞0

，從而得到函數(shù)圖象是開口向下的拋物線在y軸的左側(cè)的部分，和開口向上的拋物線在y軸右側(cè)的部分拼接而成．
（1）根據(jù)二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，結(jié)合我們作出的圖象，不難得到函數(shù)在R上有三單調(diào)區(qū)間：增區(qū)間為(-∞，-

1

2

]和[0，+∞]，減區(qū)間為[-

1

2

，0]；
（2）先討論函數(shù)在區(qū)間[-1，

1

2

]的單調(diào)性是先增后減，然后再增．由此可得函數(shù)的最大值是兩個增區(qū)間的右端點函數(shù)值中較大的那個，計算函數(shù)值再比較大小，即可得這個最大值．

解答：解：f（x）=|x|（x+1）=

-x2-x      x≤0 x2+x     x＞0

，
當x＜0時，函數(shù)圖象是開口向下的拋物線的一部分，
對稱軸為直線x=-

1

2

，以（-

1

2

，

1

4

）為頂點；
當x＞0時，函數(shù)圖象是開口向上的拋物線弧，
在（0，+∞）上為增函數(shù)，最小值為f（0）=0．
由此可得函數(shù)的圖象如右圖所示
（1）由函數(shù)的表達式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，
可得f（x）在(-∞，-

1

2

]和[0，+∞]上遞增，在[-

1

2

，0]上遞減；
（2）∵函數(shù)f（x）在[-1，-

1

2

]上是增函數(shù)，在[-

1

2

，0]上減函數(shù)，在[0，

1

2

]上是增函數(shù)
∴函數(shù)的最大值是f（-

1

2

）與f（

1

2

）中較大的那一個
∵f(-

1

2

)=

1

4

，f(

1

2

)=

3

4

∴f（x）在區(qū)間[-1，

1

2

]的最大值為

3

4

點評：本題借助于一個含有絕對值函數(shù)的圖象的作法問題，著重考查了函數(shù)圖象的作法、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)和函數(shù)最值等知識點，屬于中檔題．