Question

已知A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＞x₂）是函數(shù)f（x）=x³-|x|圖象上的兩個不同點(diǎn)，且在A，B兩點(diǎn)處的切線互相平行，則

x2

x1

的取值范圍為（　�。�

• A、[-1，0）
• B、[-

  3

  2

  ，

  3

  2

  ]
• C、（-1，0）
• D、（-1，1）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：首先把含有絕對值的函數(shù)寫成分段函數(shù)的形式，然后求導(dǎo)，通過在A，B兩點(diǎn)處的切線互相平行，即在A，B兩點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值相等，分析出A點(diǎn)在y軸的右側(cè)，B點(diǎn)在y軸的左側(cè)．根據(jù)A，B兩點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)相等，得到x₁與x₂的關(guān)系式，根據(jù)關(guān)系式得出它表示的曲線，然后利用式子的幾何意義求解．

解答： 解：由題意，f（x）=x³-|x|=

x3-x，x≥0 x3+x，x＜0

，
當(dāng)x≥0時，f′（x）=3x²-1，當(dāng)x＜0時，f′（x）=3x²+1，
因為在A，B兩點(diǎn)處的切線互相平行，且x₁＞x₂，
所以x₁＞0，x₂＜0 （否則根據(jù)導(dǎo)數(shù)相等得出A、B兩點(diǎn)重合），
所以在點(diǎn)A（x₁，y₁）處切線的斜率為f′（x₁）=3x₁²-1，
在點(diǎn)B（x₂，y₂）處切線的斜率為f′（x₂）=3x₂²+1
所以3x₁²-1=3x₂²+1，
即

x12

2 3

-

x22

2 3

=1，（x₁＞x₂，x₂＜0）
表示的曲線為雙曲線在第四象限的部分，如圖：

x2

x1

表示這個曲線上的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，
由圖可知

x2

x1

取值范圍是（-1，0），
故選：C．

點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)在研究切線方面的應(yīng)用，同時考查了數(shù)形結(jié)合的思想，綜合性較強(qiáng)，難度較大．本題的關(guān)鍵是把問題轉(zhuǎn)化成圖形的幾何意義求解．