Question

【題目】已知橢圓C： + =1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F1 ， F2 ， 拋物線y2=4x與橢圓C有相同的焦點(diǎn)，且橢圓C過點(diǎn) ． （I）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若橢圓C的右頂點(diǎn)為A，直線l交橢圓C于E、F兩點(diǎn)（E、F與A點(diǎn)不重合），且滿足AE⊥AF，若點(diǎn)P為EF中點(diǎn)，求直線AP斜率的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意可得：拋物線y2=4x的焦點(diǎn)（1，0）與橢圓C有相同的焦點(diǎn)，即c=1， a2=b2+c2=b2+1，
由橢圓C過點(diǎn) ，代入橢圓方程： ，解得：a=2，b= ，
則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ；
（Ⅱ）設(shè)直線AE的方程為y=k（x﹣2），
則 ，可得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12=0，
由2+xE= ，可得xE= ，yE=k（xE﹣2）=﹣ ，
由于AE⊥AF，只要將上式的k換為﹣ ，可得xF= ，yF= ，
由P為EF的中點(diǎn)，
即有P（ ， ），
則直線AP的斜率為t= = ，
當(dāng)k=0時(shí)，t=0；當(dāng)k≠0時(shí)，t= ，
再令s= ﹣k，可得t= ，
當(dāng)s=0時(shí)，t=0；當(dāng)s＞0時(shí)，t= ≤ = ，
當(dāng)且僅當(dāng)4s= 時(shí)，取得最大值；
綜上可得直線AP的斜率的最大值為
【解析】（I）由題意可知：拋物線y2=4x的焦點(diǎn)（1，0），c=1，將點(diǎn) 代入橢圓方程，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；（Ⅱ）設(shè)直線AE的方程為y=k（x﹣2），代入橢圓方程由韋達(dá)定理，求得E點(diǎn)坐標(biāo)，由AE⊥AF，及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得P坐標(biāo)及直線AP的方程，當(dāng)k≠0時(shí)，t= ，利用換元法及基本不等式的性質(zhì)，即可求得直線AP斜率的最大值．