Question

拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，拋物線C上點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2，且|MF|=3．
（1）求拋物線C的方程；
（2）過(guò)焦點(diǎn)F作兩條相互垂直的直線，分別與拋物線C交于M、N和P、Q四點(diǎn)，求四邊形MPNQ面積的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用拋物線的定義直接求拋物線C的方程；
（2）過(guò)焦點(diǎn)F作兩條相互垂直的直線，設(shè)MN：x=my+1，PQ：x=-

1

m

y+1(m≠0)，聯(lián)立直線與拋物線方程組成方程組，利用弦長(zhǎng)公式，求出MN，PQ，推出四邊形MPNQ的面積的表達(dá)式，利用基本不等式求四邊形MPNQ面積的最小值．

解答： 解：（1）由已知：2+

P

2

=3 ∴P=3
故拋物線C的方程為：y²=4x…（4分）
（2）由（1）知：F（1，0）
設(shè)MN：x=my+1，PQ：x=-

1

m

y+1(m≠0)…（6分）
由

x=my+1 y2=4x

得：y²-4my-4=0
∵△=16m²+16=16（m²+1）＞0
∴|MN|=

1+m2

•4•

m2+1

=4(m2+1)…（8分）
同理：|PQ|=4(

1

m2

+1)…（10分）．
∴四邊形MPNQ的面積：S=

1

2

|MN||PQ|=8(m2+1)(

1

m2

+1)=8(m2+

1

m2

+2)≥32
（當(dāng)且僅當(dāng)m2=

1

m2

即：m=±1時(shí)等號(hào)成立）
∴四邊形MPNQ的面積的最小值為32．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，四邊形面積的最值以及基本不等式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．