Question

如圖，已知拋物線C：y²=4x焦點(diǎn)為F，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)F且與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)
（Ⅰ）若線段AB的中點(diǎn)在直線y=1上，求直線l的方程；
（Ⅱ）若線段|AB|=20，求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：綜合題,圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（Ⅰ）由題設(shè)先求出F（1，0），設(shè)出斜率k，及A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由于本題知道了中點(diǎn)的坐標(biāo)，故可將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入用點(diǎn)差法建立k的方程求它的值．
（Ⅱ）先設(shè)出直線l的方程為x=my+1，與拋物線方程聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式用參數(shù)m表示出弦長(zhǎng)，再利用|AB|=20即可得出參數(shù)m的方程，解出它的值即可得出直線的方程．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得交點(diǎn)坐標(biāo)為F（1，0），…（1分）
設(shè)直線l的斜率為k，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點(diǎn)M（x₀，y₀）
則

x0= x1+x2 2 y0= y1+y2 2

，

y12=4x1 y22=4x2

⇒(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2)，
所以2y₀k=4，又y₀=1，所以k=2…（5分）
故直線l的方程是：y=2x-2…（6分）
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為x=my+1，…（7分）
與拋物線方程聯(lián)立得

x=my+1 y2=4x

，
消元得y²-4my-4=0，…（8分）
所以有y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4，△=16（m²+1）＞0

|AB|= m2+1 |y1-y2| = m2+1 (y1+y2)2-4y1y2 = m2+1 (4m)2-4×(-4) =4(m2+1)

…（10分）
所以有4（m²+1）=20，解得m=±2，…（12分）
所以直線l的方程是：x=±2y+1，即x±2y-1=0…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題考查了點(diǎn)差法求斜率的技巧，弦長(zhǎng)公式，屬于此類題中的常規(guī)題，本類題規(guī)律固定，都可用本題這樣的方式求解