【題目】已知曲線C1:ρ=1,曲線C2(t為參數(shù))

(1)求C1與C2交點(diǎn)的坐標(biāo);

(2)若把C1,C2上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)都?jí)嚎s為原來的一半,分別得到曲線C1′與C2′,寫出C1′與C2′的參數(shù)方程,C1與C2公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)和C1′與C2′公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是否相同,說明你的理由.

【答案】(1)(﹣,)(2)見解析

【解析】

(1)結(jié)合,計(jì)算方程,對(duì)于,可以消去參數(shù)t,得到普通方程,聯(lián)立兩個(gè)方程,得到交點(diǎn)坐標(biāo),即可。(2)實(shí)際上將y乘以,利用第一題的思想,計(jì)算參數(shù)方程,聯(lián)解兩曲線的普通方程,判定,即可。

(1)∵曲線C1:ρ=1,∴C1的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=1,

∴C1是以原點(diǎn)為圓心,以1為半徑的圓,

∵曲線C2(t為參數(shù)),∴C2的普通方程為x﹣y+=0,是直線,

聯(lián)立,解得x=﹣,y=

∴C2與C1只有一個(gè)公共點(diǎn):(﹣,).

(2)壓縮后的參數(shù)方程分別為

(θ為參數(shù))(t為參數(shù)),

化為普通方程為::x2+4y2=1,:y=,

聯(lián)立消元得,

其判別式,

∴壓縮后的直線與橢圓仍然只有一個(gè)公共點(diǎn),和C1與C2公共點(diǎn)個(gè)數(shù)相同.

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