【題目】在等腰中, ,腰長為, 、分別是邊的中點,將沿翻折,得到四棱錐,且為棱中點,

(Ⅰ)求證: 平面;

(Ⅱ)在線段上是否存在一點,使得平面?若存在,求二面角的余弦值,若不存在,請說明理由.

【答案】見解析

【解析】試題分析:(I)取中點,連結(jié)、,因為在等腰中,得到,

根據(jù)圖象的翻折得到,進而證得平面,再根據(jù)是平行四邊形,得,即可證明平面;(II)以為原點建立如圖所示空間直角坐標系,求得平面的一個法向量為,和平面B的一個方向法向量,根據(jù)法向量所成的角,即可得到結(jié)論.

試題解析:()證明:取中點,連結(jié)、,

因為在等腰中, , 、分別是邊的中點,

所以

又因為翻折后,所以翻折后,且

為等腰直角三角形,所以,

因為翻折后, ,且, 平面,因為

平面, ,又, 平面,

, ,且, 是平行四邊形,

平面; 3分)

)以D為原點建立如圖所示空間直角坐標系

, , , ,

設(shè),則,

設(shè)平面的法向量為,則由,且,得

,則,

要使平面,則須,

所以,即線段上存在一點,使得平面,

9分)

設(shè)平面BAE的法向量為,則由,且,得,取,則,

因為二面角為銳二面角,所以其余弦值為,

即線段上存在一點(點是線段上的靠近點的一個三等分點),

使得平面,此時二面角的余弦值為12分)

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分數(shù)

50

60

70

80

90

100

人數(shù)

甲組

2

5

10

13

14

6

乙組

4

4

16

2

12

12

已經(jīng)算得兩個組的平均分都是80分,請根據(jù)你所學(xué)過的統(tǒng)計知識,進一步判斷這兩個組這次競賽中成績誰優(yōu)誰次,并說明理由.

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