Question

如圖所示，PA為圓的切線(xiàn)，A為切點(diǎn)，PBC是過(guò)點(diǎn)O的割線(xiàn)，PA=10，PB=5，的平分線(xiàn)與BC和圓分別交于點(diǎn)D和E。

（1）求證：；
（2）求AD·AE的值。

Answer 1

（ 1）直接根據(jù)∠PAB=∠ACP以及∠P公用，得到△PAB∽△PCA，進(jìn)而求出結(jié)論；
（2）90

試題分析：（ I）直接根據(jù)∠PAB=∠ACP以及∠P公用，得到△PAB∽△PCA，進(jìn)而求出結(jié)論；

（ II）先根據(jù)切割線(xiàn)定理得到PA2=PB•PC；結(jié)合第一問(wèn)的結(jié)論以及勾股定理求出；再結(jié)合條件得到△ACE∽△ADB，進(jìn)而求出結(jié)果．

解：（ I）∵PA為⊙O的切線(xiàn)， ∴∠PAB=∠ACP，…（1分） 又∠P公用，∴△PAB∽△PCA．…（2分） ∴．…（3分） （ II）∵PA為⊙O的切線(xiàn)，PBC是過(guò)點(diǎn)O的割線(xiàn)， ∴PA2=PB•PC．…（5分） 又∵PA=10，PB=5，∴PC=20，BC=15．…（6分） 由（ I）知，， ∵BC是⊙O的直徑， ∴∠CAB=90°． ∴AC2+AB2=BC2=225， ∴ …（7分） 連接CE，則∠ABC=∠E，…（8分） 又∠CAE=∠EAB， ∴△ACE∽△ADB， ∴ …（9分） ∴．…（10分）

 
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查與圓有關(guān)的比例線(xiàn)段、相似三角形的判定及切線(xiàn)性質(zhì)的應(yīng)用．解決本題第一問(wèn)的關(guān)鍵在于先由切線(xiàn)PA得到∠PAB=∠ACP．