Question

已知函數(shù)f（x）=|x+a|+|x-2|，
（Ⅰ）當a=-3時，求不等式f（x）≥3的解集；
（Ⅱ）當a=1時，函數(shù)f（x）的最小值為m，若a，b，c是正實數(shù)，且滿足a+b+c=m，求證：a²+b²+c²≥3．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：計算題,證明題,不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）求出a=-3的不等式，通過討論x的范圍，去絕對值，分別解出它們，再求并集即可；
（Ⅱ）運用絕對值不等式的性質，求得m=3，再由三元柯西不等式即可得證．

解答： （Ⅰ）解：當a=-3時，f（x）≥3?|x-3|+|x-2|≥3
?

x≤2 3-x+2-x≥3

或

2＜x＜3 3-x+x-2≥3

或

x≥3 x-3+x-2≥3

?x≤1或x≥4，
則解集為（-∞，1]∪[4，+∞）；
（Ⅱ）證明：由于|x+1|+|x-2|≥|（x+1）-（x-2）|=3，
當且僅當-1≤x≤2時，等號成立，
則f（x）的最小值為3，即m=3．
即有a+b+c=3，又a，b，c為正實數(shù)，
則有（a²+b²+c²）（1²+1²+1²）≥（a+b+c）²=9，
即有a²+b²+c²≥3．

點評：本題考查絕對值不等式的解法，考查函數(shù)的最值的求法，考查柯西不等式的運用：證明不等式，屬于中檔題．