Question

10．如圖，在多面體ABCDEF中，F(xiàn)A⊥平面ABCD，BA⊥AD，F(xiàn)E∥AD∥BC，M為CE的中點(diǎn)，EF=FA=AB=BC=$\frac{1}{2}$AD=1．
（1）求證：平面AMD⊥平面CDE；
（2）求二面角A-CD-E的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取AD中點(diǎn)G，連結(jié)CG、GE、GM，通過EC⊥AG、EC⊥MG，以及線面垂直、面面垂直的判定定理即得結(jié)論；
（2）取CD中點(diǎn)H，連結(jié)GH，則∠EHG即為二面角A-CD-E的平面角，在Rt△EGH中計(jì)算即可．

解答 （1）證明：取AD中點(diǎn)G，連結(jié)CG、GE、GM，
由題易知：EC⊥AG，△CEG為等腰直角三角形，
∵M(jìn)為CE的中點(diǎn)，∴EC⊥MG，
∴EC⊥平面AGM，
∴平面AMD⊥平面CDE；
（2）解：∵EF=FA=AB=BC=$\frac{1}{2}$AD=1，
∴EC=CD=DE=$\sqrt{1+1}$=$\sqrt{2}$，
取CD中點(diǎn)H，連結(jié)GH，
則∠EHG即為二面角A-CD-E的平面角，
∵GH=$\frac{CG•DG}{CD}$=$\frac{1×1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，EH=CE•$sin\frac{π}{3}$=$\sqrt{2}•\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴在Rt△EGH中，cos∠EHG=$\frac{GH}{EH}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6}}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即二面角A-CD-E的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間中線面平行的判定，考查二面角的三角函數(shù)值，注意解題方法的積累，屬于中檔題．