Question

1．已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）的單調(diào)增區(qū)間為$[kπ-\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}]$（k∈Z），則函數(shù)f（x）在區(qū)間$[0，\frac{π}{2}]$的取值范圍是（　　）

• A． $[-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1]$
• B． $[-\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}]$
• C． $[-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}]$
• D． $[-\frac{1}{2}，1]$

Answer 1

分析 由條件利用正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性求出ω、φ的值，再利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得函數(shù)f（x）在區(qū)間$[0，\frac{π}{2}]$上的取值范圍．

解答 解：由函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）的單調(diào)增區(qū)間為$[kπ-\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}]$（k∈Z），可得函數(shù)的周期為$\frac{2π}{ω}$=2（$\frac{5π}{12}$+$\frac{π}{12}$），求得ω=2．
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+φ≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，求得增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{4}$-$\frac{φ}{2}$，kπ+$\frac{π}{4}$-$\frac{φ}{2}$]，k∈z．
∴-$\frac{π}{12}$=-$\frac{π}{4}$-$\frac{φ}{2}$，且$\frac{5π}{12}$=$\frac{π}{4}$-$\frac{φ}{2}$，求得φ=-$\frac{π}{3}$，故函數(shù)f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）．
在區(qū)間$[0，\frac{π}{2}]$上，2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性、定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．