Question

7．設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}中，a₁a₃=64，a₂+a₅=72．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2））設(shè)${b_n}=\frac{1}{{n{{log}_2}{a_n}}}$，S_n是數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，不等式S_n＞log_a（a-2）對(duì)任意正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）${b_n}=\frac{1}{{n{{log}_2}{a_n}}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，利用“裂項(xiàng)求和”方法可得S_n=$\frac{n}{n+1}$．?dāng)?shù)列{S_n}單調(diào)遞增，因此（S_n）_min=$\frac{1}{2}$．不等式S_n＞log_a（a-2）對(duì)任意正整數(shù)n恒成立，只需log_a（a-2）＜$\frac{1}{2}$，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 （1）解：各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}中，即q＞0
∵a₁a₃=$\frac{{a}_{2}}{q}$×a₂q=a₂²=64，∴a₂=8
∵a₂+a₅=72．∴a₅=64，即a₂q³=64
∴q=2
∴a₁=$\frac{{a}_{2}}{q}$=$\frac{8}{2}$=4
∴數(shù)列{a_n}的是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2ⁿ⁺¹．
（2）解：b_n=$\frac{1}{{n{{log}_2}{a_n}}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
S_n=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．
∴數(shù)列{S_n}單調(diào)遞增，因此（S_n）_min=$\frac{1}{2}$．
不等式S_n＞log_a（a-2）對(duì)任意正整數(shù)n恒成立，
只需log_a（a-2）＜$\frac{1}{2}$，
由a-2＞0得：a＞2，∴$a-2＜{a}^{\frac{1}{2}}$，a²-5a+4＜0，解得：1＜a＜4，
又a＞2，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（2，4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列的單調(diào)性、“裂項(xiàng)求和”方法、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．