【題目】已知函數(shù)f(x)= (t+1)lnx,,其中t∈R.

(1)若t=1,求證:當(dāng)x>1時(shí),f(x)>0成立;

(2)若t> ,判斷函數(shù)g(x)=x[f(x)+t+1]的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)1

【解析】試題分析:(1)當(dāng)時(shí),對(duì)求導(dǎo), 得增區(qū)間, 得減區(qū)間,進(jìn)而求出函數(shù)的最小值值,即可證明;(2)t>求得函數(shù)g(x)=x[f(x)+t+1]的導(dǎo)函數(shù),研究其單調(diào)性,根據(jù)零點(diǎn)定理再利用導(dǎo)數(shù)即可判定零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

試題解析:解:(1)t=1時(shí),f(x)=x﹣﹣2lnx,x>0

∴f′(x)=1+==≥0,

∴f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,

∴f(x)>f(1)=1﹣1﹣0=0,

∴x>1,f(x)>0成立,

(2)當(dāng)x(0,+∞),g(x)=tx2﹣(t+1)xlnx+(t+1)x﹣1

∴g′(x)=2tx﹣(t+1)lnx,

設(shè)m(x)=2tx﹣(t+1)lnx, ∴m′(x)=2t﹣=,

令m′(x)=0,得x=,

當(dāng)0<x<時(shí),m'(x)<0;當(dāng)時(shí)x>,m'(x)>0.

∴g'(x)在(0,)上單調(diào)遞減,在(,+∞)上單調(diào)遞增.

∴g'(x)的最小值為g′()=(t+1)(1﹣ln),

∵t>,∴ =++<e.

∴g'(x)的最小值g′()=(t+1)(1﹣ln)>0,

從而,g(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增.

又g(1)=2t>0,又g()=+(6+2lnt)﹣1,

設(shè)h(t)=e3t﹣(2lnt+6).

則h′(t)=e3

令h'(t)=0得t=.由h'(t)<0,得0<t<;

由h'(t)>0,得t>

∴h(t)在(0,)上單調(diào)遞減,在(,+∞)上單調(diào)遞增.

∴h(t)min=h()=2﹣2ln2>0.

∴h(t)>0恒成立.∴e3t>2lnt+6,.

∴g()<+﹣1=++﹣1<++﹣1<0.

∴當(dāng)t>時(shí),函數(shù)g(x)恰有1個(gè)零點(diǎn)

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(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)若軸垂直,是橢圓上位于直線(xiàn)兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn),且滿(mǎn)足,試問(wèn)直線(xiàn)的斜率是否為定值,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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(1)求f()+g()的值;

(2)若a,b,c分別是△ABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,a+c=4,且當(dāng)x=B時(shí),g(x)取得最大值,求b的取值范圍.

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x

2

4

5

6

8

y

30

40

60

50

70

(1)畫(huà)出散點(diǎn)圖.

(2)求回歸方程.

(3)試預(yù)測(cè)廣告費(fèi)支出為10百萬(wàn)元時(shí),銷(xiāo)售額多大?

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