Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線均和圓C：x²+y²-6x+5=0相切，且雙曲線的右焦點為圓C的圓心，則該雙曲線的方程為（　�。�

• A、

  x2

  4

  -

  y2

  5

  =1
• B、

  x2

  5

  -

  y2

  4

  =1
• C、

  x2

  3

  -

  y2

  6

  =1
• D、

  x2

  6

  -

  y2

  3

  =1

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由題意因為圓C：x²+y²-6x+5=0把它變成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知其圓心為（3，0），利用雙曲線的右焦點為圓C的圓心及雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程建立a，b的方程．再利用雙曲線的兩條漸近線均和圓C：x²+y²-6x+5=0相切，建立另一個a，b的方程，解出它們，即可得到所求方程．

解答： 解：因為圓C：x²+y²-6x+5=0?（x-3）²+y²=4，
由此知道圓心C（3，0），圓的半徑為2，
又因為雙曲線的右焦點為圓C的圓心，
而雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
∴a²+b²=9①
又雙曲線的兩條漸近線均和圓C：x²+y²-6x+5=0相切，
而雙曲線的漸近線方程為：y=±

b

a

x⇒bx±ay=0⇒

3b

a2+b2

=2②
聯(lián)立①②，解得：

b=2 a2=5

．
∴雙曲線的方程：

x2

5

-

y2

4

=1．
故選B．

點評：此題重點考查了直線與圓相切的等價條件，還考查了雙曲線及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及利用方程的思想進行解題．