已知動點
與定點
的距離和它到直線
的距離之比是常數(shù)
,記
的軌跡為曲線
.
(I)求曲線
的方程;
(II)設(shè)直線
與曲線
交于
兩點,點
關(guān)于
軸的對稱點為
,試問:當(dāng)
變化時,直線
與
軸是否交于一個定點?若是,請寫出定點的坐標,并證明你的結(jié)論;若不是,請說明理由.
試題分析:(I)找出題中的相等關(guān)系,列出
,化簡即得曲線
的方程;(II)將直線方程代入曲線
方程,消去
得
,記
,則
,且
.特別地,令
,則
.此時
,直線
與
軸的交點為
.若直線
與
軸交于一個定點,則定點只能為
.再證明對于任意的
,直線
與
軸交于定點
,可利用直線的兩點式方程結(jié)合分析法.
試題解析:(I)設(shè)
是點
到直線
的距離,根據(jù)題意,點
的軌跡就是集合
由此得
將上式兩邊平方,并化簡得
即
,所以曲線
的方程為
(II)由
得
,即
.
記
,
則
,且
.
特別地,令
,則
.
此時
,直線
與
軸的交點為
.
若直線
與
軸交于一個定點,則定點只能為
.
以下證明對于任意的
,直線
與
軸交于定點
.
事實上,經(jīng)過點
的直線方程為
.
令
,得
只需證
,
即證
,即證
.
因為
,
所以
成立.
這說明,當(dāng)
變化時,直線
與
軸交于定點
. …
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知一個圓的圓心為坐標原點
,半徑為
.從這個圓上任意一點
向
軸作垂線
,
為垂足.
(Ⅰ)求線段
中點
的軌跡方程;
(Ⅱ)已知直線
與
的軌跡相交于
兩點,求
的面積
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知動點
到定點
和
的距離之和為
.
(Ⅰ)求動點
軌跡
的方程;
(Ⅱ)設(shè)
,過點
作直線
,交橢圓
異于
的
兩點,直線
的斜率分別為
,證明:
為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
中心為
, 一個焦點為
的橢圓,截直線
所得弦中點的橫坐標為
,則該橢圓方程是( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
雙曲線
的離心率為( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
若拋物線
上一點
到焦點
的距離為4,則點
的橫坐標為
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
如圖,已知曲線
,曲線
,P是平面上一點,若存在過點P的直線與
都有公共點,則稱P為“C
1—C
2型點”.
(1)在正確證明
的左焦點是“C
1—C
2型點”時,要使用一條過該焦點的直線,試寫出一條這樣的直線的方程(不要求驗證);
(2)設(shè)直線
與
有公共點,求證
,進而證明原點不是“C
1—C
2型點”;
(3)求證:圓
內(nèi)的點都不是“C
1—C
2型點”.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
已知直線
,
,過
的直線
與
分別交于
,若
是線段
的中點,則
等于( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
雙曲線
( )
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