Question

（2013•南開區(qū)二模）在某校組織的一次籃球定點(diǎn)投籃測試中，規(guī)定每人最多投3次．每次投籃的結(jié)果相互獨(dú)立．在A處每投進(jìn)一球得3分，在B處每投進(jìn)一球得2分，否則得0分．將學(xué)生得分逐次累加并用ξ表示，如果ξ的值不低于3分就認(rèn)為通過測試，立即停止投籃，否則繼續(xù)投籃，直到投完三次為止．投籃的方案有以下兩種：方案1：先在A處投一球，以后都在B處投：方案2：都在B處投籃．甲同學(xué)在A處投籃的命中率為0.5，在B處投籃的命中率為0.8．
（1）當(dāng)甲同學(xué)選擇方案1時(shí)．
①求甲同學(xué)測試結(jié)束后所得總分等于4的概率：
②求甲同學(xué)測試結(jié)束后所得總分ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ；
（2）你認(rèn)為甲同學(xué)選擇哪種方案通過測試的可能性更大？說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)該同學(xué)在A處投中為事件A，不中為事件

.

A

，在B處投中為事件B，不中為事件

.

B

．則事件A，B相互獨(dú)立，
①求甲同學(xué)測試結(jié)束后所得總分等于4可記著事件

.

A

BB，由對立事件和相互獨(dú)立事件性質(zhì)，能求出甲同學(xué)測試結(jié)束后所得總分等于4的概率．
②根據(jù)上面的做法，做出分布列中四個概率的值，寫出分布列算出期望，過程計(jì)算起來有點(diǎn)麻煩，不要在數(shù)字運(yùn)算上出錯．
（2）甲同學(xué)選擇1方案通過測試的概率為P₁，選擇2方案通過測試的概率為P₂，利用分布列可得P₁=P（ξ≥3）和P₂=P（

.

B

BB）+P（B

.

B

B）+P（BB）的大小，再比較P₂，P₁的大小，從而得出結(jié)論．

解答：解：（1）設(shè)該同學(xué)在A處投中為事件A，不中為事件

.

A

，
在B處投中為事件B，不中為事件

.

B

．則事件A，B相互獨(dú)立，
①求甲同學(xué)測試結(jié)束后所得總分等于4可記著事件

.

A

BB，
則P（

.

A

BB）=P（

.

A

）P（B）P（B）=0.5×0.8×0.8=0.32；
②甲同學(xué)測試結(jié)束后所得總分ξ的可能值為0，2，3，4．
則P（ξ=0）=P（

.

ABB

）=P（

.

A

）P（

.

B

）P（

.

B

）=0.5×0.2×0.2=0.02，
P（ξ=2）=P（

.

A

B

.

B

）+P（

.

AB

B）
=P（

.

A

）P（B）P（

.

B

）+P（

.

A

）P（

.

B

）P（B）
=0.5×0.8×0.2+0.5×0.2×0.8=0.16，
P（ξ=3）=P（A）=0.5，
P（ξ=4）=P（

.

A

BB）=P（

.

A

）P（B）P（B）=0.5×0.8×0.8=0.32，
分布列為：

∴數(shù)學(xué)期望Eξ=0×0.02+2×0.16+3×0.5+4×0.32=3.1；
（2）甲同學(xué)選擇1方案通過測試的概率為P₁，選擇2方案通過測試的概率為P₂，
則P₁=P（ξ≥3）=0.5+0.32=0.82，
P₂=P（

.

B

BB）+P（B

.

B

B）+P（BB）=2×0.8×0.2+0.8×0.8=0.896，
∵P₂＞P₁，∴甲同學(xué)選擇2方案通過測試的可能性更大．

點(diǎn)評：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．