Question

已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=

2x-1

a+2x+1

是奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）判斷并證明f（x）的單調(diào)性；
（3）若對(duì)任意的t∈R，不等式f（mt²+1）+f（1-mt）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用f（1）+f（-1）=0，即可解得a的值，并利用定義檢驗(yàn)即可；
（2）判斷：?jiǎn)握{(diào)遞增．設(shè)x₁∈R，x₂∈R且x₁＜x₂，只要證明f（x₁）-f（x₂）＜0，即可；
（3）利用函數(shù)f（x）的奇偶性和單調(diào)性可得：對(duì)任意的t∈R，不等式f（mt²+1）+f（1-mt）＞0恒成立?mt²+1＞mt-1對(duì)任意的t∈R恒成立．對(duì)m分類(lèi)討論和利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出．

解答：解：（1）由f（1）+f（-1）=0，得

4

a+1

+

- 1 2

a+1

=0 ⇒ a=2．
檢驗(yàn)：a=2時(shí)，f(x)=

2x-1

2+2x+1

f(-x)=

2-x-1

2+2-x+1

=

2x(2-x-1)

2x(2+2-x+1)

=

1-2x

2x+1+2

，
∴f（x）+f（-x）=0對(duì)x∈R恒成立，即f（x）是奇函數(shù)．
（2）判斷：?jiǎn)握{(diào)遞增．
證明：設(shè)x₁∈R，x₂∈R且x₁＜x₂，
則

f(x1)-f(x2)= 2x1-1 2+2x1+1 - 2x2-1 2+2x2+1 = 1 2 ( 2x1-1 2x1+1 - 2x2-1 2x2+1 )

=

1

2

[(1-

2

2x1+1

)-(1-

2

2x2+1

)]=

1

2x2+1

-

1

2x1+1

=

2x1-2x2

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵x1＜x2∴2x1＜2x2，即2x1-2x2＜0．
又2x1+1＞0，2x2+1＞0，∴

2x1-2x2

(2x1+1)(2x2+1)

＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）在R上是增函數(shù)．
（3）∵f（x）是奇函數(shù)，∴不等式f（mt²+1）+f（1-mt）＞0?f（mt²+1）＞f（mt-1），
∵f（x）在R上是增函數(shù)，∴對(duì)任意的t∈R，不等式f（mt²+1）+f（1-mt）＞0恒成立，
即mt²+1＞mt-1對(duì)任意的t∈R恒成立，
即mt²-mt+2＞0對(duì)任意的t∈R恒成立．
m=0時(shí)，不等式即為2＞0恒成立，合題意；
m≠0時(shí)，有

m＞0 △=m2-8m＜0

即0＜m＜8．
綜上：實(shí)數(shù)m的取值范圍為0≤m＜8

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性、“三個(gè)二次的關(guān)系”、分類(lèi)討論等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．