Question

12．已知a＞0，b＞0若不等式$\frac{m}{3a+b}$-$\frac{3}{a}$-$\frac{1}$≤0，恒成立，則m的最大值為16．

Answer 1

分析 不等式$\frac{m}{3a+b}$-$\frac{3}{a}$-$\frac{1}$≤0恒成立，即為m≤（3a+b）（$\frac{3}{a}$+$\frac{1}$），（a，b＞0），將右邊的式子化簡(jiǎn)，再由基本不等式可得最小值，進(jìn)而得到m的范圍，即有m的最大值．

解答 解：不等式$\frac{m}{3a+b}$-$\frac{3}{a}$-$\frac{1}$≤0恒成立，即為
m≤（3a+b）（$\frac{3}{a}$+$\frac{1}$），（a，b＞0），
由（3a+b）（$\frac{3}{a}$+$\frac{1}$）=10+$\frac{3a}$+$\frac{3b}{a}$≥10+2$\sqrt{\frac{3a}•\frac{3b}{a}}$=16，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{3a}$=$\frac{3b}{a}$，即a=b時(shí)，取得等號(hào)．
即有m≤16．
則m的最大值為16．
故答案為：16．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式恒成立問題的解法，注意運(yùn)用參數(shù)分離和基本不等式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．