Question

設(shè)f（x）為定義在區(qū)間I上的函數(shù)．若對I上任意兩點x₁，x₂（x₁≠x₂），總有f（

x1+x2

2

）＜

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]，則稱f（x）為I上的嚴(yán)格下凸函數(shù)．若f（x）為I上的嚴(yán)格下凸函數(shù)，其充要條件為：對任意x∈I有f″（x）＞0成立（f″（x）是函數(shù)f（x）導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），則以下結(jié)論正確的有

 

．
①f（x）=

2x+2014

3x+7

，x∈[0，2014]是嚴(yán)格下凸函數(shù)．
②設(shè)x₁，x₂∈（0，

π

2

）且x₁≠x₂，則有tan（

x1+x2

2

）＞

1

2

（tanx₁+tanx₂）
③f（x）=-x³+3x²在區(qū)間[1，2014]上是嚴(yán)格下凸函數(shù)．
④f（x）=

1

6

x³+sinx，（x∈（

π

6

，

π

3

））是嚴(yán)格下凸函數(shù)．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：根據(jù)嚴(yán)格下凸函數(shù)的充要條件，求f^∥（x）＞0恒成立即可．

解答： 解：①因為f（x）=

2x+2014

3x+7

=

2 3 (3x+7)+2014- 14 3

3x+7

=

2

3

+

6028

9x+21

，
所以f'（x）=-

6028×9

(9x+21)2

=-

6028

(3x+7)2

，
所以f″（x）=

2×3×6028

(3x+7)3

，
當(dāng)x∈[0，2014]時，f″（x）＞0恒成立，所以①正確．
②若x₁=

π

3

，x₂=

π

6

，則

1

2

（tanx1+tanx2）=

1

2

（tan

π

3

+tan

π

6

）=

1

2

（

3

+

3

3

）=

2 3

3

，
而tan（

x1+x2

2

）=tan

π 3 + π 6

2

=tan

π

4

=1，
所以有tan（

x1+x2

2

）＞

1

2

（tanx₁+tanx₂）不成立，所以②錯誤．
③因為f（x）=-x³+3x²，則f'（x）=-3x²+6x，f^∥（x）=-6（x-1＜0在[1，2014]上恒成立，
∴f（x）=-x³+3x²在區(qū)間[1，2014]上不是嚴(yán)格下凸函數(shù)，所以③錯誤．
④若f（x）=

1

6

x³+sinx，則f'（x）=

1

2

x²+cosx，f^∥（x）=x-sinx，當(dāng)x∈[

π

6

，

π

3

]，
設(shè)y=x-sinx，則y'=1-cosx≥0，所以函數(shù)f^∥（x）=x-sinx單調(diào)遞增，
所以f^∥（

π

6

）=

π

6

-sin

π

6

=

π

6

-

1

2

＞0，所以f（x）=

1

6

x³+sinx，（x∈（

π

6

，

π

3

）是嚴(yán)格下凸函數(shù)，所以④正確．
故答案為：①④．

點評：本題主要考查新定義的應(yīng)用，考查學(xué)生的運算能力，綜合性較強．正確理解新定義是解決本題的關(guān)鍵．