Question

已知定點(diǎn)P（6，4）與定直線l₁：y=4x，過(guò)P點(diǎn)的直線l與l₁交于第一象限Q點(diǎn)，與x軸正半軸交于點(diǎn)M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求使△OQM面積最小的直線l方程．

Answer 1

分析：直線l是過(guò)點(diǎn)P的旋轉(zhuǎn)直線，因此是選其斜率k作為參數(shù)，還是選擇點(diǎn)Q（還是M）作為參數(shù)是解答本題的關(guān)鍵．
通過(guò)比較可以發(fā)現(xiàn)，選k作為參數(shù)，運(yùn)算量稍大，因此選用點(diǎn)參數(shù)．

解答：
解：設(shè)Q（x₀，4x₀），M（m，0），
∵Q，P，M共線，
∴k_PQ=k_PM，
即

4-4x0

6-x0

=

4

6-m

，
解得，m=

5x0

x0-1

；
∵x₀＞0，m＞0，
∴x₀-1＞0，
∴S△OMQ=

1

2

|OM|4x0=2mx0=

10x02

x0-1

；
令x₀-1=t，則t＞0，
S=

10(t+1)2

t

=10(t+

1

t

+2)≥40；
當(dāng)且僅當(dāng)t=1，x₀=2時(shí)，等號(hào)成立，
此時(shí)Q（2，8），∴直線l：x+y-10=0；
注：如果用點(diǎn)斜式設(shè)直線方程，用斜率表示三角形面積，
【略解】設(shè)QM：y=k（x-6）+4    Q(

6k-4

k-4

，

24k-16

k-4

)，M（(

6k-4

k

，0)），
S_△OQM=

1

2

.

6k-4

k

24k-16

k-4

=

8(3k-2)2

k2-4k

，令3k-2=t則k=

t+2

3

，然后分子分母都除以t²
∴S_△OQM=

8t2

(t+2)2 9 - 4(t+2) 3

=

72t2

t2-8t-20

=

72

1- 8 t - 20 t2

≥

72

4×(-20)×1-64 4×(-20)

=40，此時(shí)t=-5，k=-1．

點(diǎn)評(píng)：本題通過(guò)引入?yún)��?shù)，建立了關(guān)于目標(biāo)函數(shù)S_△OQM的函數(shù)關(guān)系式，再由基本不等式求此目標(biāo)函數(shù)的最值．解題時(shí)要學(xué)會(huì)選擇適當(dāng)參數(shù)，在解析幾何中，斜率k，截距b，角度θ，點(diǎn)的坐標(biāo)都是常用參數(shù)，特別是點(diǎn)參數(shù)．