Question

已知橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，且經(jīng)過點(diǎn)A（0，-1）．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若過點(diǎn)（0，

3

5

）的直線與橢圓交于M，N兩點(diǎn)（M，N點(diǎn)與A點(diǎn)不重合），求證：以MN為直徑的圓恒過A點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由橢圓所過點(diǎn)A可求得b值，由離心率及a²=b²+c²可求得a值，從而得橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)MN的方程為y=kx+

3

5

，把y=kx+

3

5

代入橢圓方程得（1+4k²）x²+

24

5

kx-

64

25

=0，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由已知條件推導(dǎo)出

AM

•

AN

=0，由此能夠證明以MN為直徑的圓恒過A點(diǎn)．

解答： （I）解：∵橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)A（0，-1），∴b=1，
又∵橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，
∴e=

c

a

=

a2-1

a

=

3

2

，解得a=2，
所以橢圓的方程為

x2

4

+y2．
（Ⅱ）證明：若過點(diǎn)（0，

3

5

）的直線的斜率不存在，
此時(shí)M，N兩點(diǎn)中有一個(gè)點(diǎn)與A點(diǎn)重合，不滿足題目條件，
所以直線MN的斜率存在，設(shè)其斜率為k，則MN的方程為y=kx+

3

5

，
把y=kx+

3

5

代入橢圓方程得（1+4k²）x²+

24

5

kx-

64

25

=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則x1+x2=-

24k

5(1+k2)

，x₁x₂=-

64

25(1+4k2)

，
y₁+y₂=k（x₁+x₂）+

6

5

=

6

5(1+4k2)

，
y₁y₂=k²x₁x₂+

3

5

k（x₁+x₂）+

9

25

=

-100k2+9

25(1+4k2)

，
∵A（0，-1），
∴

AM

•

AN

=（x₁，y₁+1）•（x₂，y₂+1）
=x₁x₂+y₁y₂+（y₁+y₂）+1
=-

64

25(1+4k2)

+

-100k2+9

25(1+4k2)

+

6

5(1+4k2)

+1=0，
∴

AM

⊥

AN

，
∴以MN為直徑的圓恒過A點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查圓恒過定點(diǎn)的證明，解題時(shí)要熟練掌握橢圓性質(zhì)，注意向量知識(shí)的合理運(yùn)用．