Question

20．已知數(shù)列{a_n}的首項a₁=1，前n項和為S_n，且S_n=2S_n-1+1（n≥2且n∈N^*），數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，且b₁=a₁，b₄=a₁+a₂+a₃，設(shè)c_n=$\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$，數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n，則T₁₀=$\frac{10}{21}$．

Answer 1

分析 由S_n=2S_n-1+1（n≥2且n∈N^*），變形為S_n+1=2（S_n-1+1），利用等比數(shù)列的通項公式可得S_n．再利用等差數(shù)列的通項公式可得b_n，利用“裂項求和”可得T_n．

解答 解：∵S_n=2S_n-1+1（n≥2且n∈N^*），
∴S_n+1=2（S_n-1+1），
∴數(shù)列{S_n+1}是等比數(shù)列，首項為2，公比為2，
∴S_n+1=2ⁿ，
∴${S}_{n}={2}^{n}$-1．
設(shè)等差數(shù)列{b_n}的公差為d，
∵b₁=a₁=1，b₄=a₁+a₂+a₃=S₃-1=7，
∴1+3d=7，解得d=2．
∴b_n=1+2（n-1）=2n-1．
設(shè)c_n=$\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$=$\frac{n}{2n+1}$．
∴T₁₀=$\frac{10}{21}$．
故答案為：$\frac{10}{21}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式、“裂項求和”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．