Question

直線x+7y=10把圓x²+y²=4分成兩段弧，其中劣弧的長為（　�。�

• A、π
• B、

  2

  3

  π
• C、2π
• D、

  π

  2

Answer 1

分析：根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示，設直線與圓交于A和B兩點，連接OA，OB，過圓心O作OC垂直于AB，根據(jù)垂徑定理得到C為AB中點，利用點到直線的距離公式求出圓心O到已知直線的距離，即為|OC|的長，在直角三角形BOC中，由半徑|OB|的長及|OC|的長，利用勾股定理求出|BC|的長，得出|BC|=|OC|，可得三角形BOC為等腰直角三角形，求出∠OBC的度數(shù)，進而得出∠AOB的度數(shù)，

AB

即為所求的弧，利用弧長公式即可求出其長度．

解答：解：根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示：

連接OA，OB，過O作OC⊥AB，
由圓的方程x²+y²=4，得到圓心坐標為（0，0），半徑r=2，
∴圓心到直線x+7y=10的距離d=

10

50

=

2

，又|OB|=2，
在Rt△BOC中，根據(jù)勾股定理得：|BC|=

|OB|2-|OC|2

=

2

，
∴△OBC為等腰直角三角形，即∠OBC=45°，
又OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=45°，
∴∠AOB=90°，
則

AB

的弧長l=

90π×2

180

=π．
故選A

點評：此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，以及弧長公式．直線與圓相交時，常常利用垂徑定理得出弦的一半，圓的半徑及弦心距構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理來解決問題．借助圖形找出劣弧所對的圓心角度數(shù)是解本題的關(guān)鍵．