Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)，求在區(qū)間上的最大值；

（3）證明：對，不等式成立.（為自然對數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（2）（3）見解析

【解析】試題分析：（1）確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)明確函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）對分類討論，確定函數(shù)再上得單調(diào)性，從而可求函數(shù)的最大值；（3）先確定函數(shù)在上，恒有，即，結(jié)合（1）可證，從而可得，恒有，進(jìn)而可得結(jié)論.

試題解析：（1）的定義域為， ，

由，得．

當(dāng)時， ；當(dāng)時， ．

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

（2）①當(dāng)，即時， 在上單調(diào)遞增，

∴．

②當(dāng)時， 在上單調(diào)遞減，

∴．

③當(dāng)，即時， 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

∴

（3）由（1）知，當(dāng)時， ，所以在上，恒有，即且當(dāng)時等號成立．

因此，對，恒有．

∵，

∴，即，

∴．即對，不等式成立．