Question

3、異面直線a，b所成的角為60°，則過(guò)空間中一點(diǎn)P與a，b都成30°的直線有

1

條？與a，b都成50°的直線有

2

條？與a，b都成60°的直線有

3

條？與a，b都成70°的直線有

4

條？過(guò)大小為60°的二面角外一點(diǎn)P作與它的兩個(gè)面都成60°的直線有

5

條？

Answer 1

分析：根據(jù)異面直線a與b所成的角為60°，P為空間一點(diǎn)，過(guò)P分別作直線a，b的平行線，得到∠APB=60°，過(guò)P點(diǎn)作直線c，d分別是角∠APB的平分線和面APB的垂線，這時(shí)c與a，b所成角為30°，d與a，b所成角為90°，然后直線從c轉(zhuǎn)到直線d的過(guò)程中一定經(jīng)過(guò)30°、50°、60°、70°的角，可求出直線的條數(shù)．過(guò)大小為60°的二面角外一點(diǎn)P作與它的兩個(gè)面都成60°的直線，可轉(zhuǎn)化為過(guò)點(diǎn)P與兩個(gè)平面的垂所成的角為30°，直線的條數(shù)．

解答：解：把異面直線a，b平移到相交，使交點(diǎn)為P，
此時(shí)∠APB=60°，過(guò)P點(diǎn)作直線c平分∠APB，這時(shí)c與a，b所成角為30°，一條
過(guò)P點(diǎn)作直線d垂直a和b，這時(shí)d與a，b所成角為90°
直線從c向兩邊轉(zhuǎn)到d時(shí)與a，b所成角單調(diào)遞增，必有經(jīng)過(guò)30°、50°、60°、70°的角，
因?yàn)閮蛇�，所以�?條．
∠AFE是度數(shù)為120°的二面角的一個(gè)平面角，AP是其的角平分線，當(dāng)過(guò)點(diǎn)P的直線與AP平行時(shí)，滿足條件，當(dāng)過(guò)點(diǎn)P的直線與AD平行時(shí)，也滿足條件，與AD類似，
當(dāng)過(guò)點(diǎn)P的直線與BE平行時(shí)，也滿足條件，同理，在二面角為60°的兩半平面內(nèi)也存在兩條直線滿足條件．
故答案為：1，2，3，4，5

點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)中檔題．考查異面直線所成的角，以及解決異面直線所成的角的方法（平移法）的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想和運(yùn)動(dòng)變化的思想方法．