Question

已知{a_n}是等差數(shù)列，公差d≠0，a₁，a₃，a₁₃成等比數(shù)列，S_n是{a_n}的前n項(xiàng)和
（1）求證：S₁，S₃，S₉成等比數(shù)列；
（2）若S₃=9，a_n=21，求n．

Answer 1

考點(diǎn)：等比關(guān)系的確定,等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用a₁，a₃，a₁₃成等比數(shù)列，可得d=2a₁，從而S₃=9a₁，S₉=81a₁，即可證明S₁，S₃，S₉成等比數(shù)列；
（2）由S₃=9，求出首項(xiàng)與公差，利用a_n=21，即可求n．

解答： （1）證明：∵a₁，a₃，a₁₃成等比數(shù)列，
∵a32=a1a13，
∴(a1+2d)2=a1(a1+12d)，
∴d=2a₁，
∴S₃=9a₁，S₉=81a₁，
∴S32=S1S9…（6分）
（2）解：S₃=9a₁=9，∴a₁=1，d=2，
∵a_n=21=1+2（n-1），
∴n=11…（10分）

點(diǎn)評：本題主要考查等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于中檔題．