Question

已知△ABC所對(duì)的邊分別是a、b，設(shè)向量

m

=（a，b），

n

=（sinB，sinA），

p

=（b-2，a-2）．
（1）若

m

∥

n

，求證：△ABC為等腰三角形；
（2）若

m

⊥

p

，邊長(zhǎng)c=2，角C=60°，求△ABC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系,平行向量與共線向量

專題：解三角形,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）由向量

m

∥

n

，得出x₁y₂-x₂y₁=0，利用正弦定理，結(jié)合三角函數(shù)恒等變換，求出A=B即可；
（2）由向量

m

⊥

p

，得出x₁y₁+x₂y₂=0，利用余弦定理，求出ab的值，即可求出△ABC的面積．

解答： 解：（1）∵向量

m

=（a，b），

n

=（sinB，sinA），且

m

∥

n

；
∴asinA-bsinB=0，
由正弦定理得，sinA•sinA-sinB•sinB=0，
即

1-cos2A

2

=

1-cos2B

2

；
∴cos2A=cos2B，
∴2A=2B，
即A=B；
∴△ABC為等腰三角形；
（2）∵向量

m

=（a，b），

p

=（b-2，a-2），且

m

⊥

p

；
∴a（b-2）+b（a-2）=0，
即ab=a+b；
又∵c=2，角C=60°，
由余弦定理得2²=（a+b）²-2ab-2abcos60°；
∴4=（ab）²-3ab，
解得ab=4，或ab=-1（舍去）；
∴△ABC的面積為S=

1

2

absinC=

1

2

×4×sin60°=

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面向量的應(yīng)用問(wèn)題以及正弦、余弦定理的應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)向量的平行與垂直，得出條件式，利用正弦、余弦定理化簡(jiǎn)條件，得出正確的結(jié)論，是綜合題．