已知集合M是滿足下列兩個條件的函數(shù)f（x）的全體：①f（x）在定義域上是單調(diào)函數(shù)；②在f（x）的定義域內(nèi)存在閉區(qū)間[a，b]，使f（x）在[a，b]上的值域為數(shù)學(xué)公式．若函數(shù)數(shù)學(xué)公式，g（x）∈M，則實數(shù)m的取值范圍是________．


分析：若函數(shù)g（x）=∈M 可判斷g（x）是定義域[1，+∞）上的增函數(shù)，故g（x）滿足②即方程在[1，+∞）內(nèi)有兩個不等實根，
方法一：平方去根號，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在特定區(qū)間上解的問題，利用實根分布處理；
方法二：可轉(zhuǎn)化為方程在[1，+∞）內(nèi)有兩個不等實根，兩個函數(shù)的圖象有兩個交點．結(jié)合圖象求解．兩種方法中都要注意等價轉(zhuǎn)化．
解答：設(shè) g（x）=+m，則易知g（x）是定義域[1，+∞）上的增函數(shù)．
∵g（x）∈M，
∴存在區(qū)間[a，b]?[1，+∞），滿足 g（a）=a，g（b）=b．
即方程 g（x）=x在[1，+∞）內(nèi)有兩個不等實根．
[法一]：方程+m=在[1，+∞）內(nèi)有兩個不等實根，等價于方程 x-1=在[2t，+∞）內(nèi)有兩個不等實根．
即方程x2-（4m+4）x+4m2+4=0在[2m，+∞）內(nèi)有兩個不等實根．
根據(jù)一元二次方程根的分布有
解得 0＜m≤
因此，實數(shù)t的取值范圍是 0＜m≤．
[法二]：要使方程]：方程+m=在[1，+∞）內(nèi)有兩個不等實根
即方程=-m在[1，+∞）內(nèi)有兩個不等實根
如圖，當(dāng)直線 y=x-m經(jīng)過點（1，0）時，
當(dāng)直線 y=x-m與y=相切時，
方程兩邊平方，得x2-（4m+4）+4（m2+4）=0由△=0，得m=0．
因此，利用數(shù)形結(jié)合得實數(shù)t的取值范圍是 0＜m≤
故答案為：（0，]

點評：本題考查集合的包含關(guān)系、函數(shù)的定義域、值域問題，同時考查數(shù)形結(jié)合思想、等價轉(zhuǎn)化思想和利用所學(xué)知識分析問題、解決問題的能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f（x）的全體：在定義域內(nèi)存在x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立．
（1）函數(shù)f(x)=
1
x
是否屬于集合M？說明理由；
（2）設(shè)函數(shù)f(x)=lg
a
x2+1
∈M，求a的取值范圍；
（3）設(shè)函數(shù)y=2x圖象與函數(shù)y=-x的圖象有交點，證明：函數(shù)f（x）=2x+x2∈M．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f（x）的全體：存在非零常數(shù)T，對任意x∈R，有f（x+T）=T•f（x）成立．
（1）函數(shù)f（x）=x是否屬于集合M？說明理由；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=ax（a＞0，且a≠1）的圖象與y=x的圖象有公共點，證明：f（x）=ax∈M；
（3）若函數(shù)f（x）=sinkx∈M，求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f（x）的全體：存在非零常數(shù)k，對定義域中的任意x，等式f（kx）=
k2
+f（x）恒成立．
（1）判斷一次函數(shù)f（x）=ax+b（a≠0）是否屬于集合M；
（2）證明函數(shù)f（x）=log2x屬于集合M，并找出一個常數(shù)k；
（3）已知函數(shù)f（x）=logax（ a＞1）與y=x的圖象有公共點，證明f（x）=logax∈M．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知集合M是滿足下列條件的函數(shù)f（x）的全體；
①當(dāng)x∈[0，+∞）時，函數(shù)值為非負(fù)實數(shù)；
②對于任意的s、t∈x[0，+∞），λ＞0，都有
f(x)+λf(t)
1+λ
≤f(
s+λt
1+λ
)
在三個函數(shù)f1（x）=x-1，f2(x)=2x-1，f3(x)=ln
x+1
中，屬于集合M的是
f3（x）
f3（x）
（寫出您認(rèn)為正確的所有函數(shù)．）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•嘉定區(qū)三模）已知集合M是滿足下列兩個條件的函數(shù)f（x）的全體：①f（x）在定義域上是單調(diào)函數(shù)；②在f（x）的定義域內(nèi)存在閉區(qū)間[a，b]，使f（x）在[a，b]上的值域為[
a
2
 ， 
b
2
]．若函數(shù)g(x)=
x-1
+m，g（x）∈M，則實數(shù)m的取值范圍是
(0 ， 
1
2
]
(0 ， 
1
2
]
．

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