【題目】如圖，在幾何體中，四邊形是矩形， 平面， . ， 分別是線段的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）求與平面所成角的正切值.

【答案】(Ⅰ)證明見(jiàn)解析；(Ⅱ)

【解析】試題分析：

(I)做出輔助線，由題意可證得結(jié)合線面平行的判斷定理可得平面.

(II)由題意建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合直線的方向向量和平面的法向量可得與平面所成角的正切值是.

試題解析：

（Ⅰ）證明：取中點(diǎn)，連接.在中， 分別是線段的中點(diǎn)，所以且；又在矩形中， 且，故且，四邊形是平行四邊形， 面， 面，所以平面.

（Ⅱ）方法一：如圖，把原幾何體補(bǔ)成一個(gè)以等腰直角三角形為底面的直三棱柱.由于，所以與平面所成角即為與平面所成角.

又面，所以為與平面所成角的平面角.

. 與平面所成角的正切值.

解法二：如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)， 分別為軸， 軸建立空間直角坐標(biāo)系，則.所以，

又平面，所以平面的法向量可為.

設(shè)與平面所成角為， ，

所以與平面所成角的正切值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某工廠為了對(duì)新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬訂的價(jià)格進(jìn)行試銷得到如下數(shù)據(jù)：

單價(jià)x（元）

8

8.2

8.4

8.6

8.8

9

銷量y（件）

92

82

83

80

75

68


（1）求出y關(guān)于x的線性回歸方程 ．其中 =250
（2）預(yù)計(jì)在今后的銷售中，銷量與單價(jià)仍然服從（I）中的關(guān)系，且該產(chǎn)品的成本是4元每件，為使工廠獲得最大利潤(rùn)，該產(chǎn)品的單價(jià)應(yīng)定為多少元？

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【題目】在某次水下科研考察活動(dòng)中，需要潛水員潛入水深為60米的水底進(jìn)行作業(yè)，根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，潛水員下潛的平均速度為（米/單位時(shí)間），每單位時(shí)間的用氧量為（升），在水底作業(yè)10個(gè)單位時(shí)間，每單位時(shí)間用氧量為0.9（升），返回水面的平均速度為（米/單位時(shí)間），每單位時(shí)間用氧量為1.5（升），記該潛水員在此次考察活動(dòng)中的總用氧量為（升）.

（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若 ，求當(dāng)下潛速度取什么值時(shí)，總用氧量最少.

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【題目】已知函數(shù)f （x）= 的定義域集合是A，函數(shù)g（x）=lg[x2﹣（2a+1）x+a2+a]的定義域集合是B．
（1）求集合A，B．
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【題目】按照某學(xué)者的理論，假設(shè)一個(gè)人生產(chǎn)某產(chǎn)品單件成本為a元，如果他賣出該產(chǎn)品的單價(jià)為m元，則他的滿意度為 ；如果他買進(jìn)該產(chǎn)品的單價(jià)為n元，則他的滿意度為 ．如果一個(gè)人對(duì)兩種交易（賣出或買進(jìn)）的滿意度分別為h1和h2 ， 則他對(duì)這兩種交易的綜合滿意度為 ．現(xiàn)假設(shè)甲生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的單件成本分別為12元和5元，乙生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的單件成本分別為3元和20元，設(shè)產(chǎn)品A、B的單價(jià)分別為mAm元和mB元，甲買進(jìn)A與賣出B的綜合滿意度為h甲 ， 乙賣出A與買進(jìn)B的綜合滿意度為h乙 ．
（1）求h甲和h乙關(guān)于mA、mB的表達(dá)式；當(dāng)mA= mB時(shí)，求證：h甲=h乙；
（2）設(shè)mA= mB ， 當(dāng)mA、mB分別為多少時(shí)，甲、乙兩人的綜合滿意度均最大？最大的綜合滿意度為多少？

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（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：對(duì)任意，總存在正整數(shù)，使得時(shí)， .

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（1）寫出利潤(rùn)函數(shù)y=f（x）的解析式（利潤(rùn)=銷售收入﹣總成本）；
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（3）工廠生產(chǎn)多少臺(tái)產(chǎn)品時(shí)，可使盈利最多？

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（2）求f（x）在[2，4]上的最值．

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（1）求的方程；

（2）若直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，證明：直線與圓相切.

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