Question

設(shè)直線l₁：y=kx，l₂：y=-kx，圓P是圓心在x軸的正半軸上，半徑為3的圓．
（Ⅰ）當(dāng)k=時(shí)，圓P恰與兩直線l₁、l₂相切，試求圓P的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l₁與圓P交于A、B，l₂與圓P交于C、D．
（1）當(dāng)k=時(shí)，求四邊形ABDC的面積；
（2）當(dāng)k∈（0，）時(shí)，求證四邊形ABDC的對(duì)角線交點(diǎn)位置與k的取值無(wú)關(guān)．

Answer 1

【答案】分析：直線l₁：y=kx，l₂：y=-kx 關(guān)于x軸對(duì)稱．
（Ⅰ）設(shè)圓心P（a，0），a＞0．利用切線的性質(zhì)：圓心到切線的距離等于半徑，列方程求 a．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），（1）等腰梯形ABDC的面積=（AC+BD）×h，AC，BD，h用x₁，y₁，x₂，y₂，表示．代入求解．
（2）根據(jù)圖形的對(duì)稱性，四邊形ABDC的對(duì)角線交點(diǎn)在x軸上．能證明此點(diǎn)是定點(diǎn)即可．
解答：解：直線l₁：y=kx，l₂：y=-kx 關(guān)于x軸對(duì)稱
（Ⅰ）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-a）²+y²=9，利用切線的性質(zhì)：圓心到切線的距離等于半徑，
∴=3，解得a=5
∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-5）²+y²=9
（Ⅱ）（1）設(shè)A （x₁，y₁）B（x₂，y₂），則C（x₁，-y₁）D（x₂，-y₂），直線l₁：y=x 與圓P方程聯(lián)立，消去x得5y²-20y+16=0，得A（，），B（，）．
等腰梯形ABDC的面積=（AC+BD）×h=（2y₁+2y₂）（x₂-x₁）=×8×=．
（2）當(dāng)k∈（0，）時(shí)，y=kx與圓P方程聯(lián)立，并整理得：（1+k²）x²-10x+16=0，△=-64k²+36＞0．x₁=，x₂=
y₁=，y₂=，AC的斜率為k==．
AC的方程為y-y₁=k（x-x₁），將x₁，y₁，k代入并化簡(jiǎn)整理得：y=．與x 軸交與定點(diǎn)（，0）與k的值無(wú)關(guān)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的位置關(guān)系：相切，相交．聯(lián)立方程組是最基本的解題方法，考查圓心到直線的距離公式，考查題目的理解能力計(jì)算能力．