Question

18．已知：a_n=1024+lg2^1-n（lg2=0.3010），n∈N₊．
（1）問前多少項(xiàng)之和為最大？
（2）前多少項(xiàng)之和的絕對(duì)值最��？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，對(duì)數(shù)列{a_n}通項(xiàng)公式變形，分析可得該數(shù)列是以1024為首項(xiàng)，公差d為-lg2的等差數(shù)列；結(jié)合其前n項(xiàng)和的性質(zhì)可得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}=1024+（1-n）lg2≥0}\\{{a}_{n+1}=1024-nlg2≤0}\end{array}\right.$，
解出n的范圍并取整數(shù)可得答案；
（2）由（1）可得，數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，進(jìn)而可得其S_n公式，令S_n=0，可得n的值，取其中最接近的正整數(shù)，即可得答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意，a_n=1024+lg2^1-n=1024+（1-n）lg2=1024+（n-1）（-lg2），
數(shù)列{a_n}是以1024為首項(xiàng)，公差d為-lg2的等差數(shù)列；
$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}=1024+（1-n）lg2≥0}\\{{a}_{n+1}=1024-nlg2≤0}\end{array}\right.$，
解可得$\frac{1024}{lg2}$≤n≤$\frac{1024}{lg2}$+1，
若n為整數(shù)，則n=3402，即n=3402時(shí)，數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)之和為最大；
（2）由（1）可得，數(shù)列{a_n}是以1024為首項(xiàng)，公差d為-lg2的等差數(shù)列；
則其S_n=1024n-$\frac{1}{2}$n（n-1）lg2=-$\frac{1}{2}$lg2•n²+（1024+$\frac{1}{2}$lg2）n，
令S_n=0，可得n=$\frac{2048}{lg2}$+1≈6084.99，
即n=6085時(shí)，S_n最接近0，即其前6085項(xiàng)之和的絕對(duì)值最�。�

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的運(yùn)用，解答時(shí)首先要將其通項(xiàng)公式變形，分析得到該數(shù)列為等差數(shù)列．