Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx（a∈R），已知曲線y=f（x）在點(diǎn)M（-1，f（-1））處的切線方程是y=4x+3．
（Ⅰ）求a，b的值；并求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求f′（x）=3x²+2ax+b，根據(jù)函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于切線的斜率和切點(diǎn)在切線上得出兩個(gè)關(guān)于a，b的方程，即可求出a，b：a=b=1．這樣便得到f′（x）=3x²-2x-1，這樣找使f′（x）＞0，和f′（x）＜0的x的取值，從而求出增區(qū)間和減區(qū)間；
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）求出的單調(diào)區(qū)間，即可判斷f（x）取極值的情況，并且求出端點(diǎn)值，即可求出函數(shù)f（x）的最值．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=3x²+2ax+b；
由已知條件得：

f′(-1)=3-2a+b=4 f(-1)=-1+a-b=-4+3

；
解得a=b=-1；
∴f（x）=x³-x²-x，f′（x）=3x²-2x-1；
令3x²-2x-1=0得：x=-

1

3

，或1；
∴x∈（-∞，-

1

3

）時(shí)，f′（x）＞0；x∈（-

1

3

，1）時(shí)，f′（x）＜0；x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0；
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是：（-∞，-

1

3

]，[1，+∞）；單調(diào)減區(qū)間是：（-

1

3

，1）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）在[-1，-

1

3

]上單調(diào)遞增；在（-

1

3

，1]上單調(diào)遞減；
∴f（-

1

3

）=

2

27

是f（x）的極大值，又f（-1）=-1，f（1）=-1；
∴函數(shù)f（x）的最大值是

2

27

，最小值是-1．

點(diǎn)評(píng)：考查函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)和切線斜率的關(guān)系，切點(diǎn)在切線上，滿足切線的方程，極值的概念，求最值的方法．