如圖所示,正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=4,點(diǎn)E在CC1上且C1E=3EC
(1)求異面直線BE、AB1所成的角的大;
(2)求A1到截面BDE的距離;
(3)求二面角A1-DE-B的大。

解:以DA,DC,DD1分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz.
則D(0,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),E(0,2,1),A1(2,0,4),A(2,0,0),B1(2,2,4),
(1)
設(shè)異面直線BE、AB1所成的角的大小為α,則cos,

(2)證明:∵,,
∴A1C⊥BD,A1C⊥DE
又DB∩DE=D,∴A1C⊥平面DBE
設(shè)C到截面BDE的距離為h,則有
∵VC-BDE=VE-BCD,∴

∴A1到截面BDE的距離為
(3)由(2)知向量 為平面DBE的一個(gè)法向量
設(shè)平面DA1E的法向量n=(x,y,z)
,得2y+z=0,2x+4z=0
令z=-2,得x=4,y=1,
∴n=(4,1,-2)
又二面角A1-DE-B為銳角
∴二面角A1-DE-B的余弦值為
分析:以DA,DC,DD1分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz.
(1)先求得,利用向量的夾角求異面直線BE、AB1所成的角.
(2)根據(jù)空間直角坐標(biāo)系個(gè)點(diǎn)坐標(biāo),即向量垂直計(jì)算,可得A1C⊥BD,A1C⊥DE又DB∩DE=D即可得A1C⊥平面DBE
,再利用等體積可求.
(3)由(2)知向量 為平面DBE的一個(gè)法向量,根據(jù)向量坐標(biāo)計(jì)算,即可得到二面角A1-DE-B的余弦值.
點(diǎn)評(píng):本題以正四棱柱為載體,考查線線角,面面角,考查利用空間向量解決立體幾何問(wèn)題,計(jì)算要小心.
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a
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