【題目】已知函數(shù).

(Ⅰ)若的值域為,求的值;

(Ⅱ)巳,是否存在這祥的實數(shù),使函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個零點.若存在,求出的取值范圍;若不存在,請說明理由.

【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)存在,

【解析】

1的值域為,則函數(shù)必須是開口向上、與軸有唯一交點的二次函數(shù).可以求出的值.

2)已知某函數(shù)零點個數(shù),求參數(shù)問題,函數(shù)零點問題可以轉化為方程根或者通過轉化變成兩圖象交點個數(shù)問題.本題中令 ,則它的圖象非常熟悉,而的圖象則需要考慮是否是二次函數(shù),當確定是二次函數(shù)時,考慮函數(shù)的開口方向,對稱軸與區(qū)間的位置關系(為了更好的研究函數(shù)在區(qū)間的單調性,便于考慮它的性質).

(Ⅰ)函數(shù)的值域為,則,解得.

(Ⅱ)由,

,,原命題等價于兩個函數(shù)的圖象在內(nèi)有唯一交點.

(1)當時,上遞減,上遞增,

g(1)=1>0=h(1),g(2)=-1<1=h(2),

∴函數(shù)的圖象在內(nèi)有唯一交點.

(2)當時,圖象開口向下,對稱軸為,上遞減,

上遞增,的圖象在內(nèi)有唯一交點,

當且僅當,即.

(3)當時,圖象開口向上,對稱軸為,上遞減,上遞增,的圖象在內(nèi)有唯一交點,

,即,

.

綜上,存在實數(shù),使函數(shù)于在區(qū)間內(nèi)有且只有一個點.

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