Question

在當(dāng)今的信息化社會(huì)中，信息安全顯得尤為重要，為提高信息在傳輸中的安全性，通常在原信息中按一定規(guī)則對(duì)信息加密，設(shè)定原信息為A₀=a₁a₂…a_n，a_i∈{0，1}（i=1，2，3…n），傳輸當(dāng)中原信息中的1都轉(zhuǎn)換成01，原信息中的0轉(zhuǎn)換成10，定義這種數(shù)字的轉(zhuǎn)換為變換T，在多次的加密過(guò)程中，滿足A_k=T（A_k-1），k=1，2，3，…．
（1）若A₂：10010110，則A₀為

 

；
（2）若A₀為10，記A_K中連續(xù)兩項(xiàng)都是l的數(shù)對(duì)個(gè)數(shù)為l_K，k=l，2，3，…，則l_K=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：加密和數(shù)字簽名的方法,進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理

專題：推理和證明

分析：（1）由變換T的定義可知，若A₂：10010110，則A₀為 10；
（2）因?yàn)?轉(zhuǎn)換成01，0轉(zhuǎn)換成10，所以10轉(zhuǎn)換成0110；故考慮A_k中10數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)，設(shè)A_k中10數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)為a_k，而A_k+1中11數(shù)對(duì)只能由A_k中10數(shù)對(duì)變換得到，所以l_K+1=a_k，l_K+2=a_k+1，故考慮A_k+1中數(shù)對(duì)10的個(gè)數(shù)a_k+1，而A_k+1中10數(shù)對(duì)可能由A_k中0得到，也可由A_k中的11得到，根據(jù)變換T的定義以及A₀，可得A_k中0和1的個(gè)數(shù)總相等，且有2^k個(gè)，故a_k+1=2^k+l_k，l_k+2=a_k+1=2^k+l_k，然后分k為奇數(shù)、偶數(shù)時(shí)，求出l_K的表達(dá)式即可．

解答： 解：（1）由變換T的定義可知，若A₂：10010110，則A₀為 10；
（2）因?yàn)?轉(zhuǎn)換成01，0轉(zhuǎn)換成10，
所以10轉(zhuǎn)換成0110；
故考慮A_k中10數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)，設(shè)A_k中10數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)為a_k，
而A_k+1中11數(shù)對(duì)只能由A_k中10數(shù)對(duì)變換得到，
所以l_K+1=a_k，l_K+2=a_k+1，
故考慮A_k+1中數(shù)對(duì)10的個(gè)數(shù)a_k+1，
而A_k+1中10數(shù)對(duì)可能由A_k中0得到，也可由A_k中的11得到，
根據(jù)變換T的定義以及A₀，
可得A_k中0和1的個(gè)數(shù)總相等，且有2^k個(gè)，
故a_k+1=2^k+l_k，l_k+2=a_k+1=2^k+l_k，
又由A₀：10變換得到A₁：0110，A₂：10010110，
所以l₁=l₂=1，
當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)（k≥3，k∈N^*），
疊加得lk=l1+21+23+…+2k-2=

2k+1

3

，k=1時(shí)也成立，
同理，當(dāng)k為偶數(shù)數(shù)時(shí)（k≥4k∈N^*），
lk=l1+22+24+26+...2k-2=

2k-1

3

，k=2時(shí)也成立，
綜上，可得則l_K=

2k-(-1)k

3

，k∈N^*．
故答案為：10、

2k-(-1)k

3

，k∈N^*．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了加密的方法的運(yùn)用，以及進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理的方法的運(yùn)用，考查了分類討論思想的運(yùn)用，屬于中檔題．