Question

設(shè)數(shù)列{a_n}對(duì)任意n∈N^*都有（kn+b）（a₁+a_n）+p=2（a₁+a₂+…+a_n）（其中k、b、p是常數(shù)）．
（Ⅰ）當(dāng)k=0，b=3，p=-4時(shí)，求a₁+a₂+…+a_n；
（Ⅱ）當(dāng)k=1，b=0，p=0時(shí)，若a₃=3，a₉=15，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）當(dāng)k=1，b=0，p=0時(shí)，若數(shù)列{a_n}中任意（不同）兩項(xiàng)之和仍是該數(shù)列中的一項(xiàng)，且a₂-a₁=2．S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，滿足

1

6

＜

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜

11

18

，求數(shù)列{a_n}首項(xiàng)a₁的值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列的應(yīng)用

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）當(dāng)k=0，b=3，p=-4時(shí)，由已知條件推導(dǎo)出3（a_n+1-a_n）=2a_n+1，a_n+1=3a_n，由此得到數(shù)列{a_n}是以首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，從而能求出a₁+a₂+…+a_n．
（Ⅱ）當(dāng)k1，b=0，p=0時(shí)，由已知條件推導(dǎo)出na_n+2-2na_n+1+na_n=0，從而得到數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，由此求出a_n=2n-3．
（Ⅲ）由（II）知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，a_n=a₁+2（n-1）．由此進(jìn)行分類討論，能求出數(shù)列{a_n}首項(xiàng)a₁的值．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)k=0，b=3，p=-4時(shí)，
3（a₁+a_n）-4=2（a₁+a₂+…+a_n），①
用n+1去代n得，3（a₁+a_n+1）-4=2（a₁+a₂+…+a_n+1），②
②-①得，3（a_n+1-a_n）=2a_n+1，a_n+1=3a_n，
在①中令n=1得，a₁=1，則a_n≠0，∴

an+1

an

=3，
∴數(shù)列{a_n}是以首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，
∴a₁+a₂+…+a_n=

1-3n

1-3

=

3n-1

2

．
（Ⅱ）當(dāng)k1，b=0，p=0時(shí)，n（a₁+a_n）=2（a₁+a₂+…+a_n），③
用n+1去代n得，（n+1）（a₁+a_n+1）=2（a₁+a₂+…+a_n+a_n+1），④
④-③得，（n-1）a_n+1-na_n+a₁=0，⑤．
用n+1去代n得，na_n+2-（n+1）a_n+1+a₁=0，⑥
⑥-⑤得，na_n+2-2na_n+1+na_n=0，即a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，．
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．∵a₃=3，a₉=15，
∴公差d=

15-3

9-3

=2，∴a_n=2n-3．
（Ⅲ）由（II）知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，
∵a₂-a₁=2，∴a_n=a₁+2（n-1）．
又對(duì)任意m，n∈N^*，必存在p∈N^*，
使a₁+2（n-1）+a₁+2（m-1）=a₁+2（p-1），
得a₁=2，故a₁是偶數(shù)，10分
又由已知，

1

6

＜

1

S1

＜

11

18

，故

18

11

＜a1＜6．
一方面，當(dāng)

18

11

＜a1＜6時(shí)，S_n=n（n+a₁-1）＞0，對(duì)任意n∈N^*，
都有

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＞

1

S1

＞

1

6

．
另一方面，當(dāng)a₁=2時(shí)，S_n=n（n+1），

1

Sn

=

1

n

-

1

n+1

，
則

1

S1

+

1

S2

+

1

S2

+…+

1

Sn

=1-

1

n+1

，
取n=2，則

1

S1

+

1

S2

=1-

1

3

=

2

3

＞

11

18

，不合題意．
當(dāng)a₁=4時(shí)，S_n=n（n+3），

1

Sn

=

1

3

(

1

n

-

1

n+3

)，
則

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

=

11

18

-

1

3

(

1

n+1

+

1

n+2

+

1

n+3

)＜

11

18

，
∴a₁=4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的首項(xiàng)的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的合理運(yùn)用．