Question

19．小明家住C區(qū)，他的學(xué)校在D區(qū)，從家騎自行車到學(xué)校的路有L₁、L₂．兩條路線（如圖），路線L₁上有A₁、A₂、A₃三個(gè)路口，各路口遇到紅燈的概率均為$\frac{2}{3}$；L₂路線上有B₁、B₂兩個(gè)路口，各路口遇到紅燈的概率依次為$\frac{3}{4}$、$\frac{3}{5}$．         
（I）若走L₁，路線，求至少遇到1次紅燈的概率；
（Ⅱ）若走L₂路線，求遇到紅燈次數(shù)X的數(shù)學(xué)期
（Ⅲ）按照“平均遇到紅燈次數(shù)最少”的要求，請你幫助小明從上述兩條路線中選擇一條最好的上學(xué)路線，并說明理由．

Answer 1

分析 （I）設(shè)“至少遇到1次紅燈”為事件A，其對立事件是沒有遇到紅燈，利用二項(xiàng)分布即可得出；
（Ⅱ）利用相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式及離散型隨機(jī)變量的期望計(jì)算公式即可得出；
（Ⅲ）由于走路線L₁時(shí)服從二項(xiàng)分布即可得出期望，比較走兩條路的數(shù)學(xué)期望的大小即可得出要選擇的路線．

解答 解：（I）設(shè)“至少遇到1次紅燈”為事件A，其對立事件是沒有遇到紅燈．
則P（A）=1-${C}_{3}^{0}×（\frac{1}{2}）^{3}$=$\frac{7}{8}$，
所以走L₁路線，至少遇到1次紅燈的概率為$\frac{7}{8}$．
（Ⅱ）依題意，X的可能取值為0，1，2．
P（X=0）=（1-$\frac{3}{4}$）×（1-$\frac{3}{5}$）=$\frac{1}{10}$，P（X=1）=$\frac{3}{4}$×（1-$\frac{3}{5}$）+（1-$\frac{3}{4}$）×$\frac{3}{5}$=$\frac{9}{20}$，
P（X=2）=$\frac{3}{4}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{9}{20}$．
隨機(jī)變量X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{1}{10}$	$\frac{9}{20}$	$\frac{9}{20}$

所以EX=0×$\frac{1}{10}$+1×$\frac{9}{20}$+2×$\frac{9}{20}$=$\frac{27}{20}$．
（Ⅲ）設(shè)選擇L₁路線遇到紅燈次數(shù)為Y，隨機(jī)變量Y服從二項(xiàng)分布Y～B（3，$\frac{1}{2}$），
所以EY=3×$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$．
因?yàn)镋X＜EY，所以選擇L₂路線上班最好．

點(diǎn)評 熟練掌握二項(xiàng)分布列、相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式及離散型隨機(jī)變量的期望計(jì)算公式及其意義是解題的關(guān)鍵．