Question

5．有一橢圓形溜冰場(chǎng)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)100m，短軸長(zhǎng)60m．現(xiàn)要在這溜冰場(chǎng)上劃定一個(gè)各頂點(diǎn)都在溜冰場(chǎng)邊界上的矩形區(qū)域，且使這個(gè)區(qū)域的面積最大，應(yīng)把這個(gè)矩形的頂點(diǎn)定位在何處？這時(shí)矩形的周長(zhǎng)是多少？

Answer 1

分析 分別以橢圓的長(zhǎng)軸、短軸各自所在的直線(xiàn)為x軸和y軸，如圖建立平面直角坐標(biāo)系xOy，設(shè)矩形ABCD的各頂點(diǎn)都在橢圓上．利用矩形與橢圓的對(duì)稱(chēng)性可得：矩形ABCD關(guān)于原點(diǎn)O及x軸、y軸都對(duì)稱(chēng)．由已知可得：橢圓的方程為 $\frac{x^2}{{{{50}^2}}}+\frac{y^2}{{{{30}^2}}}=1$．設(shè)頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x₀，y₀），x₀＞0，y₀＞0，可得$y_0^2=\frac{{{{30}^2}}}{{{{50}^2}}}（{50^2}-x_0^2）$，根據(jù)矩形ABCD的對(duì)稱(chēng)性，可知它的面積S=4x₀y₀．代入利用二次函數(shù)的單調(diào)性可得：${x}_{0}^{2}{y}_{0}^{2}$的最大值，即可得出．

解答 解：分別以橢圓的長(zhǎng)軸、短軸各自所在的直線(xiàn)為x軸和y軸，如圖建立平面直角坐標(biāo)系xOy，設(shè)矩形ABCD的各頂點(diǎn)都在橢圓上．
因?yàn)榫匦蔚母黜旤c(diǎn)都在橢圓上，而矩形是中心對(duì)稱(chēng)圖形，又是以過(guò)對(duì)稱(chēng)中心且垂直其一邊的直線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸的軸對(duì)稱(chēng)圖形，
所以矩形ABCD關(guān)于原點(diǎn)O及x軸、y軸都對(duì)稱(chēng)．
已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=100（m），短軸長(zhǎng)2b=60（m），
則橢圓的方程為 $\frac{x^2}{{{{50}^2}}}+\frac{y^2}{{{{30}^2}}}=1$．
設(shè)頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x₀，y₀），x₀＞0，y₀＞0，
則$\frac{x_0^2}{{{{50}^2}}}+\frac{y_0^2}{{{{30}^2}}}=1$，得$y_0^2=\frac{{{{30}^2}}}{{{{50}^2}}}（{50^2}-x_0^2）$，
根據(jù)矩形ABCD的對(duì)稱(chēng)性，可知它的面積S=4x₀y₀．
由$x_0^2y_0^2=x_0^2•\frac{{{{30}^2}}}{{{{50}^2}}}（{50^2}-x_0^2）=\frac{{{{30}^2}}}{{{{50}^2}}}（-x_0^4+{50^2}x_0^2）=\frac{{{{30}^2}}}{{{{50}^2}}}[-{（x_0^2-\frac{{{{50}^2}}}{2}）^2}+\frac{{{{50}^4}}}{4}）$
因此，當(dāng)$x_0^2=\frac{{{{50}^2}}}{2}$時(shí)，$x_0^2y_0^2$達(dá)到最大值，同時(shí)S=4x₀y₀也達(dá)到最大值．
這時(shí)${x_0}=25\sqrt{2}，{y_0}=15\sqrt{2}$．
矩形ABCD的周長(zhǎng)為$4（{x_0}+{y_0}）=4（25\sqrt{2}+15\sqrt{2}）=160\sqrt{2}$（m）．
因此在溜冰場(chǎng)橢圓的短軸兩側(cè)分別畫(huà)一條與短軸平行且與短軸相距$25\sqrt{2}$m（約35.35m）的直線(xiàn)，這兩條直線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)就是所劃定的矩形區(qū)域的頂點(diǎn)；這個(gè)矩形區(qū)域的周長(zhǎng)為$160\sqrt{2}$m（約等于226.27m）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、矩形的對(duì)稱(chēng)性面積、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．