【題目】已知函數(shù),其中,,為自然對數(shù)的底數(shù).
若,,①若函數(shù)單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)的取值范圍;②若對任意,恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
若,且存在兩個極值點(diǎn),,求證:.
【答案】①;②;證明見解析.
【解析】
①問題等價于在上恒成立,即對任意恒成立,由此得解;②分及討論,容易得出結(jié)論;
解法一:表示出,令,求導(dǎo)后易證;令,,利用導(dǎo)數(shù)可證,進(jìn)而得證;解法二:不等式的右邊同解法一;由當(dāng)時,可得,由此得出
,可得證.
解:①因?yàn)?/span>單調(diào)遞增,所以對任意恒成立,即對任意恒成立,
,即;
②由①當(dāng)時,單調(diào)遞增,故成立,符合題意,
當(dāng)時,令得,
在上遞減,不合題意;
綜上,實(shí)數(shù)的取值范圍為.
解法一:因?yàn)?/span>,存在兩個極值點(diǎn),,
所以有兩個不同的解,故,又,所以,
設(shè)兩根為,,則,,故,
令,因?yàn)?/span>,所以在上遞增,所以;
又
令,,則,
令得,又,則,
即,記為,則在上遞增,在上遞減,
又,,所以,即,綜上:.
解法二:不等式的右邊同解法一;
由當(dāng)時,恒成立,所以有當(dāng)時,,所以
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】當(dāng)今世界科技迅猛發(fā)展,信息日新月異.為增強(qiáng)全民科技意識,提高公眾科學(xué)素養(yǎng),某市圖書館開展了以“親近科技、暢想未來”為主題的系列活動,并對不同年齡借閱者對科技類圖書的情況進(jìn)行了調(diào)查.該圖書館從只借閱了一本圖書的借閱者中隨機(jī)抽取100名,數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如表:
借閱科技類圖書(人) | 借閱非科技類圖書(人) | |
年齡不超過50歲 | 20 | 25 |
年齡大于50歲 | 10 | 45 |
(1)是否有99%的把握認(rèn)為年齡與借閱科技類圖書有關(guān)?
(2)該圖書館為了鼓勵市民借閱科技類圖書,規(guī)定市民每借閱一本科技類圖書獎勵積分2分,每借閱一本非科技類圖書獎勵積分1分,積分累計(jì)一定數(shù)量可以用積分換購自己喜愛的圖書.用表中的樣本頻率作為概率的估計(jì)值.
(i)現(xiàn)有3名借閱者每人借閱一本圖書,記此3人增加的積分總和為隨機(jī)變量ξ,求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(ii)現(xiàn)從只借閱一本圖書的借閱者中選取16人,則借閱科技類圖書最有可能的人數(shù)是多少?
附:K2,其中n=a+b+c+d.
P(K2≥k) | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn),直線,動點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線的距離小2.
(1)求點(diǎn)的軌跡的方程;
(2)設(shè)斜率為2的直線與曲線交于、兩點(diǎn)(點(diǎn)在第一象限),過點(diǎn)作軸的平行線,問在坐標(biāo)平面中是否存在定點(diǎn),使直線交直線于點(diǎn),且恒成立?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,求的取值范圍;
(2)若,且滿足,問:函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)能否為0?若能,求出處的導(dǎo)數(shù);若不能,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左頂點(diǎn)為,左、右焦點(diǎn)分別為,離心率為,是橢圓上的一個動點(diǎn)(不與左、右頂點(diǎn)重合),且的周長為6,點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為,直線交于點(diǎn).
(1)求橢圓方程;
(2)若直線與橢圓交于另一點(diǎn),且,求點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若關(guān)于x的不等式2lnx≤ax2+(2a﹣2)x+1恒成立,則a的最小整數(shù)值是( )
A.0B.1C.2D.3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|x+1|﹣|2x﹣2|的最大值為M,正實(shí)數(shù)a,b滿足a+b=M.
(1)求2a2+b2的最小值;
(2)求證:aabb≥ab.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如果存在常數(shù)k使得無窮數(shù)列滿足恒成立,則稱為數(shù)列.
(1)若數(shù)列是數(shù)列,,,求;
(2)若等差數(shù)列是數(shù)列,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(3)是否存在數(shù)列,使得,,,…是等比數(shù)列?若存在,請求出所有滿足條件的數(shù)列;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某外賣平臺為提高外賣配送效率,針對外賣配送業(yè)務(wù)提出了兩種新的配送方案,為比較兩種配送方案的效率,共選取50名外賣騎手,并將他們隨機(jī)分成兩組,每組25人,第一組騎手用甲配送方案,第二組騎手用乙配送方案.根據(jù)騎手在相同時間內(nèi)完成配送訂單的數(shù)量(單位:單)繪制了如下莖葉圖:
(1)根據(jù)莖葉圖,求各組內(nèi)25位騎手完成訂單數(shù)的中位數(shù),已知用甲配送方案的25位騎手完成訂單數(shù)的平均數(shù)為52,結(jié)合中位數(shù)與平均數(shù)判斷哪種配送方案的效率更高,并說明理由;
(2)設(shè)所有50名騎手在相同時間內(nèi)完成訂單數(shù)的平均數(shù),將完成訂單數(shù)超過記為“優(yōu)秀”,不超過記為“一般”,然后將騎手的對應(yīng)人數(shù)填入下面列聯(lián)表;
優(yōu)秀 | 一般 | |
甲配送方案 | ||
乙配送方案 |
(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表,判斷能否有的把握認(rèn)為兩種配送方案的效率有差異.
附:,其中.
0.05 | 0.010 | 0.005 | |
3.841 | 6.635 | 7.879 |
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