Question

1．已知定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足對任意x∈R都有f（x+4）=f（x），且當x∈[-2，0]時，$f（x）={（\frac{1}{2}）^x}-1$．若在區(qū)間x∈（-2，6）內(nèi)函數(shù)g（x）=f（x）-log_a（x+2）有3個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍為（$\root{3}{4}$，2）．

Answer 1

分析 由題意可得，分別畫出y=f（x）和y=log_a（x+2）的圖象，數(shù)形結(jié)合求得a的范圍．

解答 解：∵偶函數(shù)f（x）滿足對任意x∈R都有f（x+4）=f（x），
∴函數(shù)f（x）的周期為4，
當x∈[-2，0]時，$f（x）={（\frac{1}{2}）^x}-1$，
∴x∈[0，2]時，f（x）=2^x-1，
分別畫出y=f（x）和y=log_a（x+2）的圖象，
在區(qū)間x∈（-2，6）內(nèi)，
如圖所示，函數(shù)y=log_a（x+2）的圖象過定點（-1，0），
當y=log_a（x+2）的圖象可點A時，即3=log_a（2+2），即a=$\root{3}{4}$時，有2個零點，
當y=log_a（x+2）的圖象可點B時，即3=log_a（2+6），即a=2，有3個零點，
∵在區(qū)間x∈（-2，6）內(nèi)函數(shù)g（x）=f（x）-log_a（x+2）有3個不同的零點，
∴$\root{3}{4}$＜a≤2，
故a的取值范圍為（$\root{3}{4}$，2]，
故答案為：（$\root{3}{4}$，2]．

點評 本題主要考查函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．