Question

11．三邊長均為正整數，且最大邊長為11的鈍角三角形的個數是14．

Answer 1

分析 根據題意，設另外兩邊長用x，y表示，且不妨設1≤x≤y≤11，分析可得要構成鈍角三角形，必須x+y＞11且x²+y²＜11²，進而可得6≤y≤11，按y的大小分類討論，依次求出每一種情況下的鈍角三角形的數目，由分類計數原理計算可得答案．

解答 解：根據題意，設另外兩邊長用x，y表示，且不妨設1≤x≤y≤11，
要構成鈍角三角形，必須x+y＞11且x²+y²＜11²，
分析必有6≤y≤11，按y的大小分類討論：
當y取值11時，三角形為等腰三角形，不能組成鈍角三角形；
當y取值10時，x可取的值為2、3、4，可以組成3個鈍角三角形；
當y取值9時，x可取的值為3、4、5、6，可以組成4個鈍角三角形；
當y取值8時，x可取的值為4、5、6、7，可以組成4個鈍角三角形；
當y取值7時，x可取的值為5、6、7，可以組成3個鈍角三角形；
當y取值6時，三角形為等腰三角形，不能組成鈍角三角形；
∴根據分類計數原理知所求三角形的個數為3+4+4+3=14個，
故答案為：14．

點評 本題考查分類計數原理的運用，注意結合余弦定理分析三角形為鈍角三角形的條件．