Question

如圖，長方體中，，點E是AB的中點.

（1）求三棱錐的體積;
（2）證明： ; 
（3）求二面角的正切值.

Answer 1

（1）1；（2）詳見解析；（3）

試題分析：（1）求四面體的體積，當(dāng)高不好確定時候，可考慮等體積轉(zhuǎn)化，該題中,高,可求體積；（2）證明直線和直線垂直，可先證明直線和平面垂直，由，從而面，所以，（3） 求二面角的平面角，可以利用幾何法，先找到二面角的平面角，然后借助平面圖形去計算，∵，所以,進而可證,就是的平面角，二面角也可以利用空間向量法，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，把相關(guān)點的坐標(biāo)表示出來，計算兩個半平面的法向量，進而求法向量的夾角，然后得二面角的余弦值.
試題解析：（1）解：在三棱錐D₁－DCE中，D₁D⊥平面DCE，D₁D=1
在△DCE中，，
CD＝2，CD²=CE²+DE²  ∴CE⊥DE.
∴
∴三棱錐D₁－DCE的體積. =                    4分
（2）證明：連結(jié)AD₁，由題可知：四邊形ADD₁A₁是正方形
∴A₁D⊥AD₁ 又∵AE⊥平面ADD₁A₁，A₁D平面ADD₁A₁
∴AB⊥AD₁ 又∵AB平面AD₁E，AD₁平面A D₁E  ABAD₁＝A
∴A₁D⊥平面AD₁E 又∵D₁E平面AD₁E
∴A₁D⊥D₁E                                               8分
（3）根據(jù)題意可得：D₁D⊥平面ABCD
又因為CE平面ABCD，所以D₁D⊥CE。
又由（1）中知，DE⊥CE，D₁D平面D₁DE，DE平面D₁DE，D₁DDE=D，
∴CE⊥平面D₁DE，又∵D₁E平面D₁DE ∴CE⊥D₁E.
∴∠D₁ED即為二面角D₁―EC―D的一個平面角.
在Rt△D₁DE中，∠D₁DE=90°,D₁D="1," DE=
∴ 
∴二面角D₁―ED―D的正切值是                         12分