Question

已知向量，sinB），，cosA），且A，B，C分別為的三邊a，b，c的角．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若sinA，sinC，sinB成等差數(shù)列，且，求邊c的長．

Answer 1

解：（Ⅰ）
對于△ABC，A+B=π-C，0＜C＜π，∴sin（A+B）=sinC
∴
又∵，
∴sin2C=2sinCcosC=sinC，即cosC=，又C∈（0，π）
∴；
（Ⅱ）由sinA，sinC，sinB成等差數(shù)列，得2sinC=sinA+sinB
由正弦定理得2c=a+b，
∵，
∴，
得abcosC=18，即ab=36，
由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-3ab，
∴c²=4c²-3×36，即c²=36，
∴c=6．
分析：（Ⅰ）根據(jù)平面向量的數(shù)量積的運算法則及兩角和的正弦函數(shù)公式化簡，得到sin2C等于sinC，化簡后即可求出cosC的值，根據(jù)C的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出C的度數(shù)；
（Ⅱ）由sinA，sinC，sinB成等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到2sinC等于sinA+sinB，根據(jù)正弦定理得到2c=a+b，再根據(jù)向量的減法法則化簡已知的，利用平面向量的數(shù)量積的運算法則得到ab的值，利用余弦定理表示出c的平方，把求出的C的度數(shù)，a+b=2c及ab的值代入即可列出關(guān)于c的方程，求出方程的解即可得到c的值．
點評：此題考查學生掌握平面向量的數(shù)量積的運算法則及向量的減法法則，掌握等差數(shù)列的性質(zhì)，靈活運用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及余弦定理化簡求值，是一道中檔題．