Question

已知

x-y+2≥0 x+y-4≥0 2x-y-5≤0

，
（1）求z=x+2y的最大和最小值．
（2）求z=

y

x

的取值范圍．
（3）求z=x²+y²的最大和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：簡單線性規(guī)劃

專題：數(shù)形結(jié)合

分析：由約束條件作出可行域．
（1）化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，聯(lián)立方程組求出最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案；
（2）化z=

y

x

為z=

y-0

x-0

，由其幾何意義即動點(diǎn)與定點(diǎn)連線的斜率得答案；
（3）由z=x²+y²=（x-0）²+（y-0）²表示可行域內(nèi)的點(diǎn)（x，y）到（0，0）的距離的平方得答案．

解答： 解：由約束條件作出可行域如圖．

（1）由z=x+2y得y=-

1

2

x+

z

2

，作一組平行線l：y=-

1

2

x+

z

2

，
解方程組

x+y-4=0 2x-y-5=0

得最優(yōu)解A（3，1），
∴z_min=3+2×1=5．
解

x-y+2=0 2x-y-5=0

得最優(yōu)解B（7，9），
∴z_max=7+2×9=25；
（2）z=

y

x

=

y-0

x-0

表示可行域內(nèi)的點(diǎn)（x，y）與（0，0）的連線的斜率．
從圖中可得，k_OA≤z≤k_OC，
又kOA=

1

3

，kOC=3，
∴

1

3

≤z≤3．
（3）z=x²+y²=（x-0）²+（y-0）²表示可行域內(nèi)的點(diǎn)（x，y）到（0，0）的距離的平方．
從圖中易得，zmin=(

0+0-4

2

)2=8，（O到直線AC的距離的平方），
zmax=|OB|2=130．

點(diǎn)評：本題考查了簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．