Question

如圖，已知矩形ABCD，AB=4，AD=3，O是AC上一點(diǎn)，CO=

9

5

，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，現(xiàn)把矩形ABCD沿著對角線AC折成一個(gè)大小為θ的二面角D′-AC-B．
（Ⅰ）若θ=90°，求證BO⊥AD′；
（Ⅱ）當(dāng)θ=60°時(shí)，求直線EF與平面ABC所成的角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由已知條件得，AC=5，CO=

9

5

，△ABC∽△BOC，得BO⊥AC，由此能證明BO⊥AD．
（Ⅱ）作FG⊥AC，垂足為G，作EH⊥AC，垂足為H，作EP∥GH，且使得EP=GH，則四邊形GHEP為矩形，連接EP，則AC⊥PG，又AC⊥FG，∠FGP=60°，連接EQ，則∠FEQ為EF與平面ABC所成的角，由此能求出直線EF與平面ABC所成的角的正弦值．

解答： （Ⅰ）證明：由已知條件得，AC=5，CO=

9

5

，
故BC²=CO•AC，
即△ABC∽△BOC，得BO⊥AC，BO?平面ABC，（3分）
θ=90°，即平面ABC⊥平面ADC，且交線為AC
∴BO⊥平面ACD，所以BO⊥AD．（6分）
（Ⅱ）解：作FG⊥AC，垂足為G，作EH⊥AC，垂足為H，
作EP∥GH，且使得EP=GH，
則四邊形GHEP為矩形，連接EP．
則AC⊥PG，又AC⊥FG，
∴AC⊥平面GFP，且∠FGP為二面角D-AC-B的平面角，
即∠FGP=60°．（8分）
∴AC⊥FP，又EP∥AC，∴EP⊥FP，
在Rt△CGF中，可得GF=

6

5

，同理EH=

6

5

，
即GP=

6

5

，又∠FGP=60°，∴FP=

6

5

，即△GFP為正三角形，（10分）
又由AC⊥平面GFP得平面ABC⊥平面GFP，且交線為PG，作FQ⊥GP，
∴FQ⊥平面ABC，連接EQ，則∠FEQ為EF與平面ABC所成的角．（12分）
又EP=GH=AC-2CG=5-

16

5

=

9

5

，在Rt△EPF中，
EF=

EP2+FP2

=

81 25 + 36 25

=

3 13

5

，
sin∠FEQ=

FQ

EF

=

3 2 GF

EF

=

39

13

．（14分）

點(diǎn)評：本題主要考查立體幾何線面垂直、直線與平面所成的角和二面角等基礎(chǔ)知識，同時(shí)考查空間想象能力和推理論證能力．